提要：本文主要从“什么是数学实在论”、“存在教学对象吗”和“数学的基础是什么”这样三个问题入手，对当代西方数学哲学中的实在论与反实在论之争给出较为全面的分析，并指出了这种争论在哲学史中的深厚根源。作者认为，数学哲学研究对我们认识哲学的性质具有重要的启发意义，即只有清楚地把哲学看作是一种理论的构造物，而不是把它看作某种对外部世界的对应解释，我们才会理解哲学的抽象性和普遍性。

关键词：数学实在论 数学对象 反实在论

在西方数学哲学中，实在论与反实在论之间的论战历史最为久远，最早可以追溯到古希腊。柏拉图把数字看作是共相的观点被称作“柏拉图主义”而成为数学哲学中的实在论的最初代表，而亚里士多德关于数学对象只是一种“潜在”存在的观点则是反实在论的雏形。在当代英美哲学中，实在论与反实在论在数学哲学中的对立始终最为引人注目，也是这场争论中最具代表性的思想对立。

一、什么是数学实在论？

关于这个问题，不同的哲学家会给出不同的回答，但大多数人都会把“柏拉图主义”看作数学实在论的代表，它认为数字是共相，独立于数学家的运算以及普通人对它们的思考；数学就是对客观存在的实体的科学研究，就像物理学是对物理实体的研究一样；因而，数学陈述的真假取决于这些实体的性质，而这些实体本身却是独立于我们确定它们的能力。当然．在传统上，不同的哲学家对所谓的数学实体也有着不同的理解，有的把它们刻画为抽象的、物理空间之外的、永恒不变的实体，还有的则把它们描述为必然存在物，与物理世界的构成成分无关。而关于这种实体的知识通常也被看作是先天和确定的。

显然，这种对数学实体的坚定描述会产生这样的问题：既然数学实在是先天的，独立于我们的感觉经验，那么我们又是如何获得这种先天的知识的呢？而且在非物理空间中存在的数学实体又是如何与我们所生活的这个物理世界发生联系的呢？根据柏拉图的理论，物理世界中的物质是“分有”着“形相”（Forms），而心灵则一定先于我们出生之前就存在了。当然，柏拉图的这种解释显然无法被现代的实在论者所接受，因为没有人会再相信所谓“分有”的概念以及神秘主义的解释。但弗雷格关于数的理论、哥德尔关于集合的观点以及普特南对数学命题的理解却使人感到了柏拉图主义在当代的复苏。

弗雷格在《算术基础》中就明确提出，“每个个别的数都是一个独立的对象”，[1]这个对象不是心理学的，也不是某种心理过程的产物，而是客观的、科学的，是独立于我们对它们的思想而存在的。经验主义把“数”这个概念看作是对外在事物的抽象对象，因而它与外在事物之间就有了联系，并且可以被用于外在的物理对象等。但在弗雷格看来，这种把“数”以及其他算术和数学概念简单与外在事物联系起来的做法是非常幼稚的，因为概念本身是思想的产物，虽然它们与外在事物之间存在某种关系，但又是与外在事物完全不同的。弗雷格通过区分客观事物和客观的东西，区分思维过程和通过这种过程而认识和把握的东西，来阐明“数”这个概念的特征。他提出，数既不是外界事物的性质，也不是主观的东西，“数被赋予的仅仅是那些把外在和内在的东西、时空和非时空的东西置于其下的概念。”[2]这样，数的性质就在于，它是对概念的表达，或者说，概念才是数的承载者。当弗雷格把概念客观化之后，数也就具有了客观的性质。虽然弗雷格在现代语言哲学的语境中讨论数的问题，并且他的思想也被后人看作从语言分析的角度研究数学问题的典范，但他把思想客观化的观点以及由此产生的关于数学领域中抽象实体存在的思想，却无法避免陷入柏拉图主义的传统巢穴。

哥德尔在逻辑上的伟大贡献是提出了关于一阶逻辑的不完全性定理。他在讨论集合论悖论时，特别从数学研究的直觉经验出发，认为集合论的最初公理是显而易见的，因为它们使我们不得不把它们看作是真的。他把数学直觉在数学中的作用比做感性直觉在物理学中的作用，认为我们在数学演算中完全是靠这种本能的直觉，正如我们的感觉经验往往会告诉我们有关物理对象的内容。哥德尔把罗素对“空类”的解释看作是一种没有集合而去系统说明整个数学的努力，而这种努力的失败恰好证明了数学实在论的合理性。他指出，整个空类理论的方案就是详尽地消除了关于逻辑之外的对象存在的假定，而这种方案的落空恰恰证明了这样的观点，即数学就建立在包含了真实内容的公理的基础之上的，而这些真实的内容是无法以任何方式被解释掉的。

此外，哥德尔还把这种对数学直觉与物理感觉的比较扩展到对不可感觉事物的认识上。他认为，既然我们可以承认存在关于无法感知的物理对象的事实，同样，我们也可以承认存在关于无法直觉到的数学对象的事实。而我们关于这些对象的知识和信念是通过它们在理论中的作用，通过它们的解释能力,通过它们与其他成功理论之间卓有成效的相互作用等等得到辩护的。美国哲学家曼蒂（Pe—nelope Maddy）把哥德尔这种形式的柏拉图主义分做两个层次：“较简单的概念和公理是内在地由它们的直觉证明的，而更具有理论性的假设则是外在地由它们的结果证明的。”[3]但这些证明并不是先天确定的，而是由它们在各自的理论中的作用确定的。哥德尔确信，直觉式的自明、证明以及数学中的表面辩护都完全可以看作是数学的证明形式，它们与人的直觉本能都表明了原初数学是显而易见的。普特南的数学实在论在当代数学哲学中更是旗帜鲜明，这是他的科学实在论思想在数学哲学中的充分体现。[4]对此他明确写道：“一种彻底的实在论，不仅应当对通常意义下的物质对象的存在采取实在论的立场，而且也应当对数学必然性和可能性的客观性（或者等价地说，对于数学对象的存在性）采取实在论的立场。”[5]他的这种实在论主要出于两方面的考虑，即数学的经验和物理的经验。所谓“数学的经验”是指数学的高度发展、它在解决问题方面所取得的成绩以及自身的无矛盾性，这些使得数学的真理性得到了充分的证明；所谓“物理的经验”是指数学在物理学中的成功运用。他这样写道：“由于物理和数学是如此紧密地联系在一起的——离开了数学，甚至任何物理定律的表达都是不可能的——因此，对物理的客观真理性的肯定也就包含了对于数学真理客观性的肯定。……数学的经验表明在某种解释下数学是真理；物理的经验则表明这种解释是实在论的。”[6]

但普特南并不赞同数学上的柏拉图主义。传统的柏拉图主义主张数学对象是一种绝对的、无条件的、非经验的存在，数学真理也被看作是先验的，这是普特南所不能接受的。他认为，应当把数学命题看作这样的断言，它所肯定的只是哪些事实的结构在数学上是可能的．哪些结构在数学上是不可能的。他把这种观点称作数学中的“模态逻辑观点”，并提出只要用这种观点去取代传统的“集合论的观点”，我们就可以摆脱柏拉图主义的本体论了，因为根据这种观点，数学只是借助于特殊的概念所进行的对普通事物的研究，而没有自己特殊的研究对象。所以，普特南把自己的观点看作是有限制的实在论，这种限制在于，承认数学对象的客观实在性的标准是它对于科学的必要性：如果某一个概念对科学来说是必不可少的，那么我们就应当承认这个概念代表了某种真实的存在。普特南这样写道：“我沿着以下的路线发展进行了关于实在论的一个论证：对形式科学和物理科学来说，数学对象的量化是必不可少的；因此．我们应当接受这种量化，而这样我们也就接受了相应的数学对象的存在。”[7]

可以看出，普特南之所以反对传统的柏拉图主义，是因为他反对存在有先验真理的思想，反对把数学看作是一门先验科学。而他的根据是对数学与物理学的比较分析，从物理学这样的经验科学中寻求数学这样的抽象学科得以建立的理由。从经验主义的立场出发，普特南的这种实在论是可以得到辩护的，但从唯名论的角度看，这种实在论却是站不住脚的，因为它最终是要承认数学对象的客观存在，无论是以什么样的方式表达这种认识的。而且，在唯名论看来，只要是承认了数学对象的存在，也就意味着把数学概念看作是具有客观意义的。由于数学学科本身的高度抽象性，数学概念的这种客观性不可能来自我们所经验的外部世界，因而也就只能承认它们是独立于经验的。这就不可避免地偷运了柏拉图主义的私货。

二、存在数学对象吗？

对当代英美哲学家来说，承认数学对象的存在似乎就意味着承认了柏拉图主义，而柏拉图主义又往往被看作是传统形而上学的化身。在数学哲学中．很少有哲学家公开承认自己是柏拉图主义者，也就很少有人明确承认数学对象的存在。即使是普特南，他在为自己的实在论辩护时也竭力表明他并不是一般性地承认数学对象的存在，他用于判断数学对象存在的标准是对科学理论的必要性。但尽管如此，他的思想仍然遭到了不少哲学家的批评。其中最为激烈的批评就来自以古德曼和蒯因等人的唯名论。与传统的唯名论一样，当代数学哲学中的唯名论完全否定了数学实体的客观存在，把它们看作只是为了构成某种理论所需要的工具而已，而不坚持它们的独立存在。

古德曼和蒯因在他们的《走向建设性的唯名论步骤》一文中，明确地表达了他们的唯名论立场，即对数学中的类、属性以及关系等抽象概念一概采取否定的态度。他们认为，所谓的集合论或数论本来就是理论构造物，因而并不存在集合或类所指的实体，如果抛弃了类、集合以及属性或关系这样的抽象概念，那么由这些概念所产生的各种悖论也就消失了。尽管古德曼和蒯因对类和集合等概念的理解不尽相同：古德曼认为这些概念是被用于指“非个体”，而蒯因则认为它们是指某些抽象实体，但他们都反对把这些概念看作代表了单个的对象。

在关于数学对象的存在问题上，古德曼还明确地表明了唯名论与柏拉图主义之间的根本对立。他指出，唯名论拒绝承认由数学概念所代表的抽象对象的存在，而柏拉图主义则把这样对象的存在看作是数学真理的必要条件。在数学语言中，唯名论反对“类”、“关系”这样的抽象概念，仅仅承认代表个体的名称以及逻辑变项等。所以，在现代唯名论的语言中，不包含关于个体之外的任何实体的名称、变项或常项，而只包含代表个体的变项、把这些变项连接在一起的量词、真值函项、连词、标点符号以及一位或多位的个体谓词，还包含个体的专名、摹状词等。古德曼认为，我们不能禁止在语言中使用包含“类”这个词的句子，但我们可以引进一些不包含这种词的谓词来代替它们。所以，在他看来，现代唯名论和柏拉图主义的不同，不在于使用了什么样的个体谓词，而是在于变项具有什么样的值。古德曼在《个体的世界》一文中这样来表述他的唯名论原则：“唯名论把世界描述为由个体构成的。要解释唯名论，我们需要解释的不是这些个体是什么，而是究竟是什么东西把这个世界描述为是由它们构成的。所以，描述这个世界，就是把它描述为由这样的实体构成的，其中的两个实体不会被分解为完全相同的实体。”[8]这里所谓的“两个实体不会被分解为完全相同的实体”，是指这样一种观点，即认为任何实体都是单一的，因而任何两个不同的实体不可能具有相同的内容。这个观点的提出是为了反对使用“类”概念．因为这个概念就是指不同的实体具有相同的内容。但在古德曼看来，既然没有两个不同的类具有相同的内容，因此，一个类既与那个恰恰包含了其全部成员的单一个体没有区别，也与其他任何其成员恰恰穷尽这同一个整体的类没有区别。所以，他写道：“柏拉图主义者可能通过大胆地提出‘纯形式’这个新的方面来区别这些实体，唯名论者则认为，实体之间如果在内容上没有区别，它们就是没有区别的。”[9]可见，古德曼是通过强调个体存在的唯一性来坚持自己的唯名论立场。蒯因在后来的思想中提出的本体论承诺又从另一方面肯定了抽象实体存在的可能性。表面上看，这种思想与唯名论背道而驰，但在基本精神上却是一致的，这就是，不把抽象概念作为实在的实体来看待。无论是完全从理论中清除这些概念，还是把它们搁置起来，悬而不决，这些都是对数学中的抽象实体采取的一种否定的态度。

三、数学的基础是什么？

在数学哲学中，数学的基础是一个核心问题，对这个问题的解决直接关系到如何理解和建立恰当的数学体系以及合理地解释数学的基本性质。同样，哲学家们对这个问题的回答也是判断实在论与反实在论在数学哲学中合理性的重要依据。一般来说，实在论者是把数学的基础看作经验事实，认为数学应当建立在对外在世界的抽象的基础之上，因而，数学与物理学等经验科学具有相通之处，如弗雷格、哥德尔等人；而古德曼和蒯因等人的唯名论则把数学建立在个体对数学命题的使用之上，认为数学的基础不应是物理学，而应当是逻辑或语言。我们知道，数学基础问题的提出是受到了19世纪末现代逻辑形成的深刻影响，而对这个问题的较有代表性的回答则是以弗雷格和罗素为代表的逻辑主义、以布劳威尔为代表的直觉主义和以希尔伯特为代表的形式主义。这些不同流派的一个共同特征就是对关于数学基础问题的实在论观点做出了修正和批判。

逻辑主义在数学基础问题上的出发点是对康托尔等人以直觉自明的公理为根据对数学可靠性解释的不满。以往数学家大多认为，数学的基础可以归结为算术理论，而最终结果则是把整个数学的可靠性归结到了皮亚诺的五条算术公理的可靠性和逻辑规则的有效性上。关于这些公理和规则的可靠性，数学家们通常用它们的自明性加以解释，即把它们建立在直觉的基础之上。但这种以直觉为基础把数学算术化的做法遭到了弗雷格和罗素等人的反对。他们认为，如果直觉可以作为数学理论的可靠依据，那么也就没有必要把这种直觉仅仅局限在算术的直觉，因为几何直觉或微积分的直觉都可以看作是数学理论的可靠依据。但这样的话，把数学算术化的做法就没有任何意义了。所以，逻辑主义提出，数学基础的研究决不能停留在数学的算术化上，而应当去寻找“更为一般的概念和原则”。由此，他们提出了“将数学逻辑化”的研究纲领，希望能够从少量的逻辑概念出发去定义全部或大部分的数学概念，并从少量的逻辑规则出发去演绎全部的或主要的数学理论。在他们看来，这些概念和原则必须被看作是绝对可靠的，不需要借助于任何其他如直觉那样的基础。他们把这个研究纲领分为两个步骤：第一是建立严格的逻辑理论和集合论，这是由弗雷格和罗素完成的，弗雷格的“概念文字”就是被看作现代第一个严格的逻辑理论，而罗素对集合论悖论的分析则使得这种逻辑体系更为严谨完善；第二是以这种严格的逻辑理论为基础推出全部的数学理论，这个工作是由罗素和怀特海在三卷本的《数学原理》中完成的，他们最终以数学的方式证明了一切数学理论都可以化归为逻辑。不过，随后的数学和逻辑发展证明，逻辑主义的这个纲领并不成功．因为它是把数学理解为以类型论为基础的数论，而且对他们所谓的“逻辑概念和规则”也没有明确的限定。这些都使得逻辑主义企图把数学基础归结为逻辑的计划完全破灭了。但有意义的是，这个纲领本身提出了这样的设想，即数学的基础问题必须依据形式化的方式来思考，应当摒弃在研究数学问题中使用心理的或经验的方法。这种思路为后来的数学研究提供了广阔的发展空间，特别是为希尔伯特的形式主义研究提供了必要的基础。正如美国逻辑学家邱奇所指出的，逻辑主义的工作至少完成了两件事情：“一件事情是数学的词汇归约成了一个令人惊奇的简单的原始词汇表，而所有这些原始词忙都属于纯逻辑的。另一件事是使现有的全部数学都建立在一个比较简单的统一的公理和推理规则的系统基础之上。如果说数学的原始基础归纳的确可以通过不同的方法来实现的话，那么，无论如何，这个归纳的第一范例就是由逻辑主义者完成的。”[10]

与逻辑主义不同，以布劳威尔为代表的直觉主义则走向另一个极端，它完全否定了原有的一切数学基础理论，认为这些理论都是建立在不可信的基础之上，所以才会出现各种逻辑的悖论。直觉主义提出要建立数学的可信的基础，这个基础不能是思维之外的客观世界，也不是纯粹逻辑的构造，而应当是我们的思维活动本身。用布劳威尔的话说，这种思维活动本身就是我们在数学中的直觉。“数学中的这种原始直觉不仅创造了数字一和二，而且创造了一切有限基数。……它还进一步提出了最小无限基数ω。最后，数学中的这种原始直觉结合了一切相连与分离、连续与离散的成分，直接产生了关于线形连续统即‘在……之间’的直觉”。[11]根据布劳威尔的阐述，所谓原始的直觉，就是指从人类关于时间的直觉中抽去感性内容而只保留其形式所得到的数学思维活动。他认为，这是人类智力的一个基本现象，“时间把生活分割成不同质部分的相继瞬间的同时又把它们连接起来。而如果从其中抽去了感性内容，那就得出了数学思维的基本现象：即赤裸裸的对象—对偶的直觉。”[12]在布劳威尔看来，一般的数学直觉就是这种原始直觉的反复活动而已。[13]

从布劳威尔的论述中可以看出，直觉主义是把数学基础建立在数学家们从事数学活动时的心理活动之上，在它那里，数学理论的可信性标准是数学概念在主观直觉上的可构造性。这样，数学基础问题就完全丧失了客观的标准，甚至丧失了可为数学家们接受的形式化标准。作为当代西方数学哲学以及逻辑哲学发展中出现的一种理论主张，直觉主义在哲学家中并没有得到很大的响应，它对数学基础的极端主观的观点使得这种理论很快被大多数哲学家所抛弃。不过，由于这种理论强调了数学家个人的理智活动对数学研究的重要作用，因而，在当代反实在论中也获得了一席之地，特别体现在达米特的理论中。达米特关于数学基础的证实主义观点被看作是直觉主义的最新修正形式，这种观点认为，一个数学陈述只有当被从结构上得到证明时才可以被说成是真的，而那些没有得到证明的陈述或无法得到证明的陈述则既不是真的也不是假的。这样，直觉主义的观点在证实主义中就得到了延续。但这种直觉主义也遭到了哲学家的反对。例如，曼蒂就指出，如果根据这个观点，那么是否每个数学家都有一种依据自己的心灵构造出来的不同的数学呢？我们又如何去证实那些关于有理数的陈述呢？因而，他提出的可行假定是，“哲学家的工作是去描述实际进行的数学，而不是根据哲学的基础去彻底改变这个学科。例如，关于实数的理论是演算和更高层次分析的基本成分，它远比一切关于数学存在或知识的哲学理论更为可信有效。而牺牲前者去保留后者，则完全是一种糟糕的方法。”[14]在数学基础问题上明确对实在论观点提出挑战的是希尔伯特的形式主义。希尔伯特的形式化纲领是，首先将数学理论组织成形式系统，然后再用有限的方法去证明这个系统是无矛盾的。这个纲领是根据他对数学基础的基本立场提出的，这个立场就是，“1，只要有一线希望，我们就会细心地研究有成效的定义和推理方法。我们会培植它们，强化它们并使之有用。任何人都不能把我们从康托尔为我们创造的天堂里驱逐出去。2，我们必须在整个数学中为我们的推理建立起像普通初等数论里所具有的相同的可靠性，而对于初等数论是没有人怀疑的，那里的矛盾和悖论只由于我们的粗心才会发生。”[15]在希尔伯特看来，数学基础研究的中心问题，就是用有限的方法去证明从古典数学理论中抽象出来的形式理论是无矛盾的，这种有限的方法则是他所谓的“元数学”系统，而从古典理论中抽象出来的形式理论则是他所谓的“对象系统”。他认为，一旦实现了这个目标，非有限的理想成分的应用与有限性的立场就统一起来了，这样就彻底解决了数学的基础问题。

关于如何统一他所谓的非有限理想成分的应用和有限性立场，希尔伯特有非常复杂的论述，这里我们不必详述。需要指出的是，他希望用他提出的形式化方法既可以克服直觉主义对古典数学提出的质疑，也可以解决逻辑主义在把逻辑手段运用于数学构造中出现的悖论。他提出的形式化方法就是把数学对象完全看作无意义的符号，把数学演算看作是一种机械活动的变形。但这种形式化又不是对数学理论全无意义的符号运算，而是强调对数学对象实在性的否定，强调在数学基础研究中用纯形式研究代替对内容的分析，因为根据这种纯形式研究，不但数学的基础问题可以得到无矛盾地解决，而且数学研究本身也变成一门没有任何哲学前提的纯粹科学。正是根据这种形式化研究的精神，形式主义对数学中的实在论提出了挑战。

20世纪30年代开始的数学中的形式主义与实在论之间的争论，实际上是世纪初直觉主义与形式主义围绕实无穷概念和方法在数学中的应用合理性问题争论的继续。在那场争论中，直觉主义由于其理论无法包容当代数学的实际发展，即无法解释实无穷概念在当代数学中所发挥的重要作用，因而被形式主义所打败。通过争论，实无穷概念在现代数学中的作用得到了充分的肯定，但实无穷概念究竟是否具有实在性问题并没有得到解决。根据实在论的观点，实无穷概念的实在性就在于它在数论中的作用，而形式主义则认为这种作用只具有方法论的意义，并不具有客观实在的意义。形式主义对实在论的主要反对意见是：其一，任意大基数的实在性是无法想象的，其二，实在论是对数学研究中的自由思想的压制，其三，现代数学对连续统假设和选择公理的独立证明，表明了实在论立场的错误。[16]但实在论对形式主义的批评意见也提出了反驳。例如，哥德尔就指出，连续统假设的独立性结果并不能证明实在论是错的，而只是意味着现行的公理系统没有包含对于相应实在的完全描述，所以，我们应当进一步发展集合论，在得到充分发展的集合论中，就可以判定连续统问题。[17]同样，贝尔纳斯也认为，柯亨关于连续统假设独立性的证明结果是关于集合论的公理系统，而不是关于集合论本身的，柯亨所解决的只是在如此这般的形式系统中能否把那个表示连续统假设的公式推导出来的问题，而没有解决集合论本身的问题。这就表明，对连续统假设的独立性证明并没有说明实在论是错误的，而只是表明我们的科学知识还非常有限。[18]但这种反驳显然是缺乏力量的。当然．实在论者对希尔伯特的形式化纲领也提出了责难。例如，克雷塞尔在他的《希尔伯特纲领》一文中就明确指出，希尔伯特的形式主义要求把数学看作是可以从某些古典理论中构造出来的形式系统，但这种做法显然是没有考虑到数学不仅仅包含了数学公式和结构，而且包含了数学概念以及公理所代表的非数学的内容，无论这种内容是什么，它们都毫无疑问地应当成为数学这个学科的基本成分。如果从有穷论者的观点看，任何数的概念都应包含着这个概念之外的东西。[19]从目前数学哲学中的实在论与形式主义之间的论争情况看，形式主义略占上风，因为现代逻辑和数学的发展正在不断地表明形式化研究对数学基础的重要性。

四、数学中的约定

以上我们看到了数学哲学中的各种形式的实在论与反实在论之间的论争。这些论争的核心主要是围绕数学对象的客观存在与数学真理的性质问题，正是对这些问题的不同解释和回答构成了当代数学哲学中流派纷杂、观点林立的局面。无论是弗雷格、哥德尔的实在论观点，还是逻辑主义、直觉主义或形式主义，它们都把数学真理看作数学这门学科的灵魂，虽然它们赋予了这个灵魂不同的解释。在实在论看来，数学真理即数学陈述的真理性应当是数学大厦得以建立的基础，不承认数学真理的客观性，也就损害了数学的科学性和严肃性；但在各种反实在论看来，数学真理即数学陈述在某种系统中的无矛盾性。这只是表明了数学陈述在某种理论系统中为真的条件，但如果不承认这种数学真理的存在，数学也就不成其为自身完备的学科。在数学对象的存在问题上，实在论与反实在论也是从不同的角度对数学概念的所指提出了自己的看法。虽然反实在论者坚决反对实在论者所承认的数学对象是客观存在的，但他们也并役有完全否认如“类”、“变项”、“关系”等数学对象的存在，只是把它们看作构造数学理论的工具而已。

当然，我们应当区分专业哲学家和数学家对数学哲学问题的不同解释。在数学家看来没有疑问的问题，在专业哲学家那里可能就变成了值得怀疑的问题；反之亦然。但我们不能忘记的是，在数学哲学问题上专业哲学家更应当向数学家学习，因为数学理论中的许多问题其实并没有哲学家所想象的那样复杂，即使是从哲学上来分析这些问题，我们也不应完全根据哲学的背景和需要去理解和构造关于数学问题的哲学理论。这就为哲学家提出了一个问题：究竟应当如何对待数学中的哲学问题？对这个问题，比较有把握的做法可能是倾听数学家兼哲学家的意见，因为他们的观点往往能够从数学这个学科本身的特点出发，比较清楚地看到数学哲学问题的要害所在。根据这个原则，比较以上我们所看到的各种理论观点，我们可以说，形式主义者和逻辑主义者的观点更为可取。尽管从哲学上看，这些观点也存在着这样那样的一些缺陷，但其中有一个共同特点，这就是把数学看作是数学家们约定而成的各种理论系统的总和，其中，系统的形式化是数学的构架，公理的无矛盾是数学的内容。通常认为，把约定作为构成逻辑和数学理论基石的观点最早出自亚里士多德。[20]亚里士多德在《解释篇》中提出，“所谓名词，我们是意指依据惯例（即约定——引者注）的一种有意义的声音。”[21]当代数学哲学中的约定论代表是蒯因，他在逻辑上的工具主义和科学哲学中的整体主义，都充分体现了约定论成分。这种约定论的基本思想是认为，无论是数学中的类、还是物理学中的对象或逻辑学中的函项，它们都是人们为了某种理论的需要构造出来的，是人们相互约定的结果。根据这种思想．蒯因既拒绝承认如性质、关系、数、函项等共相的存在，也否认如意义、概念、命题这样的内涵性实体，当然也不承认所谓的可能实体、感觉材料以及事实等的存在。尽管蒯因的思想与他的实用主义哲学立场有着密切关系，但在数学哲学中采用约定论却是一种可取的方法。因为我们可以清楚地看到，数学哲学中讨论的数学对象和数学真理等问题，其实就是涉及到对数学概念和原则的意义理解问题。从约定论的角度而不是从实在论的角度考虑数学对象的存在和数学真理的性质问题，我们就会发现，这些问题的意义并不取决于数学之外的世界或事实，而是取决于数学系统自身的完备和无矛盾。从数学的认识发生学上看，我们可以承认数学概念以及数学观念的产生来自我们的经验世界，但这并不会提出数学对象的存在问题，更不会把数学的真值问题与数学所抽象反映的世界联系起来。

由此看来，习惯于从经验的实在世界的角度考虑问题，甚至考虑像数学概念和原则这样高度抽象的问题，是哲学家们的通病。尽管数学哲学本身具有明显的哲学思考特征，但数学理论的形式化和数学公理的自主化，却无法使我们从经验的实在世界去讨论它们的客观存在或真理特征，否则，我们就只会落入自我挖掘的陷阱。其实，哲学思考本身也存在这样的危险。只有清楚地把哲学看作是一种理论的构造物，而不是把它看作某种对外部世界的对应解释，我们才会理解哲学的抽象性和普遍性。在这一点上，哲学与数学是相通的。

参考文献：

[1][2]弗雷格：《算术基础》，王路译，商务印书馆，1998年．第73、68页。

[3]Penelope Maddy，Realism in Mathematics，Oxford：Clarendon Press，1990，P．33

[4]对普特南数学实在论更为详尽的论述，参见夏基松和郑毓信的《西方数学哲学》，人民出版社，1986年，第224--230页

[5]Hilary Putnam，Mathematics，MatterandMethod，Cambridge

[6][7]Ibid，pp 74，347．

[8]Nelson Goodman，‘A World of Individuals’，in Paul Beaacerraf＆Hilary Putnam（eds．）Philosophy，of Mathematics,Selected Readings，New Jersey Prentice—Hall，Inc．t 1964，P 201．

[9]Nelson Goodman，The Structure of Appearance，Cambridge，Mass：Harvard Univerfity Press，1951，p．33．

[10]邱奇；《数学与逻辑》，《自然科学哲学问题丛刊》1983年第4期。

[11]L.E.J.Brouwer，‘Intuitionism and Formalism’,in Philosophy of Mathematics．P.69

[12]L.E.J.Brouwer,‘Intuitionism and Formalism’，in Philosophy of Mathematics，P．69

[13]关于布劳威尔直觉主义工作的详尽分析，可参见郑毓信和夏基松的《西方教学哲学》，第66—90页。

[14]Maddyt Realism in Mathematics，p．23

[15]David Hilbert，‘On The Infinite’，in Philosophy of Mathematics，P．141

[16]关于形式主义对实在论的这三个批评意见，参见郑毓信和夏基松的《西方数学哲学》，第250一151页。

[17]Kurt Gōdel，‘What is Cantor’s Continuum Problem’，in Philosophy of Mathematics，PP．263--264

[18]Paul Bernays，‘What is shown in rceerlt result of set theory’，inl．Lakatos（ed．）．Problems in Philosophy of Mathematics，Amsterdam：North—Holland，1865，PP．109—112．

[19]Georg Kreiselt‘Hilbert’s Programme’，in Philosophy of Mathemtics，pp 157--163．

[20]参见威廉·涅尔、玛莎·涅尔：《逻辑学的发展》，商务印书馆，1985年，第59页。

[21]亚里士多德：《解释篇》16a19，《工具论》，李匡武译，广东人民出版社，1984年，第56页。

作者单位：中国社会科学院哲学所研究员、中国社会科学院研究生院教授。（北京 100732）

原载于《浙江学刊》2004年第2期。