内容摘要：悖论被分为四种，即一阶客观描述悖论、二阶客观描述悖论、一阶主体操作悖论和二阶主体操作悖论。意外考试悖论、求婚者悖论、双信封悖论等属于二阶主体操作悖论，对它们可以统一地给以二阶操作性解决。这些悖论通常被归入认知悖论，而“认知悖论”是一个比较含糊的概念，它本身并无独立的地位，因而它要么被归入语义悖论，要么被归入操作悖论。对于语义悖论，通过对其语义规则加以限制可以给以弱的解决。对于操作悖论，不仅可以给出弱的解决，还可给出强的解决。
本文将对若干相关的悖论加以探讨，并给以一揽子解决。这些悖论在文献中已有不少讨论，通常被归入“认知悖论”（epistemic paradoxes），对它们的“解决”不仅技术比较复杂，而且至今没有得到一个公认的令人满意的方案。笔者不赞赏这类“解决”，一方面其结论有着明显的缺陷，另一方面，其技术上的复杂性并非必要。情况之所以如此，根本原因在于把这些悖论归于“认知悖论”，进而在“知道”或“相信”的符号化及其推理上大做文章，离人们的直觉相去甚远，这便走了弯路，犯了方向性的错误。与之不同，本文把这类悖论归于“操作悖论”，从操作的层面寻找关于这些悖论的更为简捷的解决方案，并同语义悖论做比较，从而阐明操作悖论的本质。
一、意外考试悖论
意外考试悖论（the surprise exam paradox）历史上有多个类似版本，如“突然演习悖论”、“意外绞刑悖论”和“求婚者悖论”等。意外考试悖论由哲学家奥康纳（D. J. O'Connor）于1948年正式提出，并以“实用悖论”（pragmatic paradox）称谓之[1]。几年后另一位哲学家蒯因（W. V. O. Quine）将此悖论从认知的角度重新提起[2]，引起热烈的讨论，从此意外考试悖论被作为认知悖论而受到学界的重视。
意外考试悖论是这样的：一位老师对学生宣布，在下周的五个工作日内要考试，但哪一天不确定；这位老师宣称，考试时间是不能被预测到的。
一位学生这样想：老师一定不会在下周五考试，因为如果前四天不考试的话，星期五考试就成为可预测的。如果星期五不考试，那么星期四也不会考试，因为如果前三天和星期五不考试，那么星期四考试就成为可预测的。以此类推，星期一也不会考试，因为如果后四天不考试，那么星期一考试就成为可预测的。这样，老师每一天都不会考试。然而，这又同老师关于下一周内必有考试的承诺相违背。这意味着，老师必有考试的承诺和让考试日期不可预测的承诺之间是相矛盾的。这就是意外考试悖论。
二、对悖论的一种解决
意外考试悖论的关键词是“意外”即“不可预测”，预测可分为准确预测和概率预测。这里不考虑概率预测，如下周五考试的概率是1/5，只考虑准确预测如下周五肯定考试。此外，我们还可以从时间上把预测区分为在下周之前的预测和下周每一天之前的预测。我们先考虑前者即下周之前不可准确预测考试日期。对此，老师只要采用抓阄的方法来确定考试日期，便可完全地实现他的意外考试的承诺。即使抓阄结果是下周五考试，并且学生们在下周四晚上准确预测到明天考试，但这与下周之前不可准确预测的规定并不冲突。这样，意外考试悖论便被消解了。这样的解决类似于把理发师悖论中的“本村人”改为“除我以外的本村人”，这类解决属于弱的解决方案，其特点是通过对导致悖论的条件加以限制来消除悖论。
我们再考虑后者即下周每一天之前都不可准确预测考试日期。上面那种抓阄的方法对于下周前四天考试是适用的，但对于下周五考试似乎不适用，因为在下周五之前的周四晚上学生们可以准确预测明天考试。于是，我们不妨把上面的抓阄方法做一些改变即：在下周之前抓阄来决定下周哪一天考试，如果抓阄结果是下周五考试，那么增加一次抓阄来决定下周五是否考试。这样，下周进行一次不可准确预测日期的考试便可以实施了。
意外考试悖论的出现依赖于对下周五考试之可能性的排除，但是，对于这里所说的两次抓阄的方法而言，下周五考试的可能性是不能被排除的，因为直到下周四晚上，下周五仍有两种可能性，即考试或不考。由于有这两种可能性，直到下周四晚上学生们仍然不能准确预测明天是否考试。意外考试悖论就此而被解决或消除。
对于上面给出的解决方案，需要强调的一点是，即使第二次抓阄结果是下周五不考试，也是对意外考试规定的一种实施。为说明其理由，我们有必要做更为深入的讨论，包括对“悖论”或“矛盾命题”作一些分类，并同著名的说谎者悖论和理发师悖论相比较。
三、几种不同的矛盾命题
矛盾命题可以分为一阶和二阶，并且命题可以区分为客观描述命题和主体操作命题。例如，“张三出生于北京并且张三不出生于北京”是一个一阶的客观描述的矛盾命题，该命题无疑是假的。与之不同，一个人M说“我此刻说的这句话是假的”，这是著名的“说谎者悖论”，该悖论则是一个二阶的客观描述悖论。具体地说，如果“我此刻说的这句话是假的”这句话是真的，由于这里的“我”是M，因此这句被M说出的话是假的。如果这句话是假的，它符合M的断言，而M的断言正是这句话，所以这句话是真的。二阶客观描述的矛盾命题是关于一句话既真又假的矛盾，因此，这句话是无意义的而不是假的，因为当说它假的时候它又真了。与之不同，一阶客观描述的矛盾命题是恒假的。
有学者强调“悖论”和“矛盾命题”之间的区别，指出只有说谎者悖论才是悖论，而“张三既出生于北京又不出生于北京”只能叫做矛盾命题，而不能叫做悖论。这些学者实际上注意到了矛盾命题的一阶与二阶之分，他们所说的悖论就是这里所说的二阶矛盾命题。在笔者看来，只要区分一阶和二阶即可，叫做“悖论”还是叫做“矛盾命题”并不重要，可以保留文献中二者通用的习惯。[3]13 [1]
我们对矛盾命题的一阶和二阶的区分对应于塔尔斯基关于对象语言和元语言的区分。正如塔斯基指出的，“…是真的”和“…是假的”是元语言谓词，而不是对象语言谓词。既然说谎者悖论涉及这些元语言谓词，故说谎者悖论属于元语言悖论。与之不同，“张三既出生于北京又不出生于北京”不涉及元语言谓词，因而只是一个对象语言的矛盾命题。
接下来，我们讨论主体操作的矛盾命题，如“张三应该去北京并且张三不应该去北京”。“张三应该去北京”和“张三不应该去北京”分别发出两个不同的操作命令，其命令的性质通过“应该”表示出来。有时表达命令的命题中没有出现“应该”，但其命令的性质可以从上下文显示出来。这个命题的矛盾性使得，张三遵守其中一个就会违反另一个，结果是此操作命令总是被违反的，或者说，此操作命令总是不可遵守的。这是一个一阶的主体操作矛盾命题。
与之不同，理发师悖论则是一个二阶主体操作的矛盾命题：S村的理发师规定：我只给不自己刮胡子的人刮胡子。这一规定对于理发师本人则成为：如果他是给自己刮胡子的，那么按照规定他不应该给自己刮胡子；当他遵守这个规定时他便成为自己不给自己刮胡子的人，按照规定他应该给自己刮胡子。然而，当他再一次遵守规定的时候，他便违反规定，因为按照规定，他此时不应该给自己刮胡子。以此循环，使得他的规定失去确定的含义因而成为无意义的，而一个无意义的规定是不可操作的。
请注意，操作不同于遵守，因为遵守意味着不违反，而违反也是一种操作。遵守和违反是互斥的，但它们都属于操作，甚至不操作本身也是一种操作，这就是操作的闭包性。理发师的规定的不可操作性使得这一规定成为可操作的，即理发师即可以给自己刮胡子，也可以不给自己刮胡子；总之，矛盾的任何一方都可以被遵守，也可以被违反，反正都是操作。至此，理发师悖论得以解决。我们可以把这种解决叫做“二阶操作性解决”，其特点是怎么做都行。
需要指出，二阶操作性解决是利用操作的闭包性而把不可操作当作一种特殊的操作，它只适合于对二阶主体操作矛盾命题的解决，因为只有二阶操作矛盾使得操作规则成为无意义的。与之不同，一阶操作矛盾命题是有意义的，正因为它有意义因而总是被违反即不可遵守的。在一阶操作矛盾命题可以消除或解决的情况下，二阶主体操作矛盾命题是不存在的，自然地，二阶操作性解决也是不必要的。即使一阶操作矛盾命题不能被消除，那也不能对它进行二阶操作性解决，因为这样的解决是文不对题的。二阶操作性解决只能用于二阶主体操作的矛盾命题。
正如“…是真的”和“…是假的”是二阶谓词（即元语言谓词），“…被遵守”和“…被违反”也是二阶谓词；一阶主体操作命题不涉及二阶谓词，相应的矛盾命题也不涉及二阶谓词，如“张三应该去北京并且张三不应该去北京”。二阶主体操作的矛盾命题则涉及二阶谓词，如理发师悖论可以这样来表述：如果理发师的规则被遵守那么它就被违反，如果该规则被违反那么它就被遵守。正如一阶客观描述的矛盾命题总是假的，一阶主体操作的矛盾命题总是被违反的。正如二阶客观描述的矛盾命题是无意义的，二阶主体操作的矛盾命题也是无意义的。不过，二阶主体操作的矛盾命题的无意义进一步导致它的不可操作性，而不操作本身就是一种操作。
意外考试悖论属于二阶的主体操作悖论，与理发师悖论属于同一类。它与理发师悖论的不同之处是，它涉及“意外”即“不可准确预测”，而“预测”是一种特殊的操作。意外考试悖论可以归结为：如果老师下周五考试，那么考试日期可以准确预测的；如果考试日期是可以准确预测的，那么按照规定下周不考试；如果下周不考试，那么考试日期是不可准确预测的，按照规定下周考试。只要下周考试就有可能在下周五考试，于是上面的推论重复进行。以上推论中的“按照规定”就是“遵守规定”，意外考试悖论相当于：如果老师的规定被遵守那么就被违反，如果它被违反那么就被遵守。这使意外考试的规定失去确定的含义因而成为无意义的，而一个无意义的规定是不可操作的。但是，这种不可操作性本身就是一种操作，即矛盾的任何一方都是可以被遵守的。于是，当第一次抓阄结果是下周五考试时，再进行一次抓阄，而无论结果是下周五考试还是不考，都是对意外考试规定的遵守。至此，意外考试悖论得以解决。
也许有人会说，既然无论怎样做都是对二阶主体操作悖论的解决，那为什么还要进行两次抓阄？如果老师在宣布他的规定后一开始就决定不考试，那就连一次抓阄都不需要了，这岂不更简单？对此，笔者的回答是：老师不考试属于二阶操作性解决的一种，而这种解决只是在二阶主体操作悖论出现的情况下才成为必要的。如果第一次抓阄结果是下周的前四天考试，那就意味着这一主体操作命题可以遵守，并不存在二阶主体操作悖论。仅当第一次抓阄结果是下周五考试时，二阶主体操作悖论才出现，只有那时才需要进行第二次抓阄，并且无论下周五考试还是不考试都是对那个二阶悖论的解决。需强调，这里否定的只是一开始就决定不考试因而连一次抓阄都不进行的方案。其实只进行一次抓阄而不进行第二次抓阄也是一种可取的方案，对此我们留待“求婚者悖论”一并讨论。
四、对“矛盾命题”的进一步澄清
前面指出，笔者保留“悖论”和“矛盾命题”这两个术语可以通用的习惯，但对悖论或矛盾命题作出一阶和二阶的区分，并且将命题区分为客观描述命题和主体操作命题。现在对这些概念给以进一步的讨论，并给出必要的符号化。
我们知道，矛盾命题的基本形式是：p∧Øp，容易证明，它逻辑等值于：p←→～p，即(p→Øp) ù (Øp→p)。但是，蕴涵分为实质蕴涵和严格蕴涵，可用“→”和“T”分别表示之。相应地，矛盾命题还有另一种形式即：ÿ( pùØp)，逻辑等值于：ÿ( p←→Øp)，亦即：(pTØp) ù (ØpTp)。现在我们可以说，前一种涉及实质蕴涵的形式是关于一阶矛盾命题的，后一种涉及严格蕴涵的形式是关于二阶矛盾命题的。二阶矛盾命题不同于一阶矛盾命题的关键在于，从p得出Øp和从Øp得出p是有必然性的，是一个语义推导的过程，而不仅仅是实质蕴涵关系。说谎者悖论、理发师悖论和意外考试悖论都是如此。与之不同，在“张三出生于北京并且张三不出生于北京”中，或在“张三应该去北京并且张三不应该去北京”中，两个相反的命题之间不具必然蕴涵的关系，而只具有实质蕴涵的关系，因而属于一阶矛盾命题。
前面指出，一阶客观描述的矛盾命题是恒假的，二阶客观描述的矛盾命题则是无意义的（如说谎者悖论）。无论是恒假命题还是无意义命题都是应当避免的。与之对照，一阶主体操作的矛盾命题总是被违反的即不可遵守的；二阶主体操作的矛盾命题不仅是无意义的，而且是不可操作的。然而，不可操作本身就是一种操作，即怎么做都行。这里显示出二阶客观描述的矛盾命题与二阶主体操作的矛盾命题之间的本质区别：前者是无意义的，因而是应当避免或消除的；后者尽管是无意义的，但却是可操作的，通过操作可以消除悖论，因而最终不是一个悖论。这意味着，意外考试悖论的那个规定尽管从语义学上讲是荒谬的，但从行为学上讲未尝不可，老师可以继续宣布：下周进行一次其日期不可预测的考试，并且照样可以实施之。
总之，由于客观描述的矛盾命题只涉及语义而不涉及操作，因此，二阶客观描述的矛盾命题归结为无意义，而无意义对于语义学来说是一种终极性的荒谬。与之不同，由于主体操作的矛盾命题不只涉及语义，而且涉及操作，而操作具有闭包性，即主体没有非操作的状态，静止也是一种操作，这使得不操作也是一种操作。例如，在理发师悖论中，理发师什么都不做也是一种操作即不给自己刮胡子。再如，在意外考试悖论中，那位老师什么都不做也是一种操作即不考试。当然，也可把不操作理解为相反的行为。这也就是说，二阶主体操作的矛盾命题的无意义性使它可以通过某种操作而得以消除。
主体操作命题其实是关于行为规则的，理发师悖论中理发师的规定和意外考试悖论中老师的承诺都是如此。行为规则就是关于如何做的规定，因而具有“应该”的模态性质，即应该按此规则去做，而不应该违反它。“应该”是对“必然”的一种道义论的解释，我们用字母O作为 “应该”的模态算子，这样，一个一阶的主体操作命题如“张三应该去北京”可表示为O(张三去北京)，相应地，一个一阶主体操作的矛盾命题如“张三应该去北京并且张三不应该去北京”可表示为：O(张三去北京) ùØO(张三去北京)。一阶主体操作的矛盾命题的一般形式是：OpùØOp。
前面指出，一阶主体操作的矛盾命题总是被违反的即不可遵守的，但它本身不包含“…被遵守”和“…被违反”这些二阶操作谓词。然而，理发师悖论和意外考试悖论都包含了这些二阶操作谓词，因而其规则具有二阶的必然性；相应地，由它们导致的二阶主体操作的矛盾命题应当表示为：ÿ( OpùØOp)。说谎者悖论虽然也是二阶的，但不是主体操作的矛盾命题，而是客观描述的矛盾命题，故应表示为：ÿ( pùØp)。
对此，有人提出质疑：假设p表示“今天下雨”，则ÿ( pùØp)表示“必然地，今天下雨并且今天不下雨”，这个命题虽然是假的，但是有意义的。然而，按照上面所说，如果把说谎者悖论表示为：ÿ( p«Øp)，进而逻辑等值地表示为：ÿ( pùØp)，这个公式则成为无意义的了。
笔者的回答是：“ÿ”可以代表的必然性不只一种，而有多种。通常所说的是逻辑必然性，而二阶矛盾命题涉及的是分析的必然性。分析的必然性不同于逻辑的必然性，因为分析必然性是相对于某一或某些语义公设而言的，而逻辑必然性不需要语义公设。例如，中国象棋的一个原理“马后炮必致对方于死地”就是一个相对于象棋规则的分析必然命题，但它决不是一个逻辑必然命题。如果根据一个语义公设而导出逻辑矛盾，这是分析必然的矛盾命题，它表明那个语义公设是错的，因而是无意义的。注意，语义公设只有对错之分，而没有真假之分。我们不能说，某个象棋规则是假的，而只能说它是错的。谈论语义公设的对与错属于元语言范围。说谎者悖论涉及元语言问题，即关于“…是真的”和“…是假的”这些元语言谓词的用法问题，其矛盾性表明它所涉及的那句话对这些元谓词的用法是错误的，因而是无意义的。
说谎者悖论属于二阶客观描述的矛盾命题，而意外考试悖论和理发师悖论属于二阶主体操作的矛盾命题。有人以理发师悖论为例对后者提出如下质疑：
理发师的规定可理解为：对于任何人，如果理发师给他刮胡子，则这个人不给自己刮胡子；如果这个人给自己刮胡子，则理发师不给他刮胡子。可将其形式化为："x(Fax«ØFxx)，这里F是“…给…刮胡子”，a是理发师。把a代入上面的命题得：Faa«ØFaa。这就是理发师悖论，这里只有实质蕴涵，不涉及严格蕴涵。
对此，笔者的回答是：首先，理发师的规定是一个主体操作命题，不应将理发师的规定简单地符号化为："x(Fax«ØFxx)，而应符号化为："xO(Fax«ØFxx)。相应地，把a代入后的结果是：O(Faa«ØFaa)，而不是Faa«ØFaa。其次，理发师悖论是二阶主体操作的矛盾命题，理发师的规定应该进一步符号化为：ÿ"xO(Fax«ØFxx)，相应地，代入后的结果是：ÿO(Faa«ØFaa)。这使它不仅是无意义的，而且是不可操作的。上面质疑中把理发师的规则简单地符号化为"x(Fax«ØFxx)，这相当于把一个二阶主体操作命题表示为一阶客观描述命题，因而是一种曲解。第三，把a代入理发师规则的步骤是依据代入规则的，而代入规则超出实质蕴涵的范围，属于严格蕴涵。[2]
五、求婚者悖论
求婚者悖论（suitor paradox）可以说是意外考试悖论的翻版，但略有不同。
一个年轻人向公主求婚，国王提出如下条件：在五间屋子中（分别标为1号至5号）藏有一只老虎，求婚者必须依次打开房间，找到并杀死老虎；否则不允许求婚者与公主结婚。同时国王有如下承诺：在五间屋子中，有且只有一间屋子有老虎，并且求婚者在打开每间屋子的门之前不知道里面是否有老虎。
求婚者的推理过程与考试悖论的过程完全相同，最终也得出没有一间屋子藏有老虎的结论。然而事实上，国王在一个屋子里（比如第3号）藏了老虎，并且求婚者在打开那间房子之前并不知道。
需要指出，尽管求婚者悖论和意外考试悖论非常相似，但在一点上是不同的（至少我们可以规定有这样的不同），即：在求婚者悖论中，某一间屋子藏有老虎是一个先决条件（既定事实），因而排除了这样一种可能性即不在任何屋子藏有老虎。这样，在考虑这一悖论的时候，我们在解决意外考试悖论时所采用的两次抓阄的第二次便不适用了，而只能使用一次抓阄的方法。但是这样一来问题就出现了：如果国王的抓阄结果是第5号屋子并且国王在那间屋内放入老虎，那么，当求婚者看到前四间屋子都没有老虎时就可以知道第5间屋子藏有老虎了。这不就意味着国王的条件和诺言有冲突因而不能实现？这也就是说，一次抓阄的方法不能解决求婚者悖论。
对此，笔者的回答是：国王的条件和诺言可以实现，即使求婚者在看到前四间屋子都没有老虎因而知道第五间屋子有老虎。这是因为国王的条件和诺言构成一个类似于意外考试悖论的悖论，这个悖论属于二阶主体操作悖论，因而是无意义的和不可操作的。由于操作具有闭包性，不可操作也是一种操作，因而无论怎么做都是对此悖论的一种解决，包括按照抓阄结果在第5号房间内放入老虎并且被求婚者知道。总之，国王只需按照抓阄结果来决定在哪间屋子藏入老虎，求婚者悖论就此得以解决。推导求婚者悖论的错误在于，把第5号房间放入老虎的可能性排除了，并以此类推，逐一排除在任何房间放入老虎的可能性；但对于抓阄方法来说，第5号房间放入老虎的可能性不能被排除。
我们不妨重新审视前面的意外考试悖论。我们给出的方案是，当第一次抓阄结果是下周五考试时再进行第二次抓阄，以决定下周五考试还是不考试。现在看来，不进行第二次抓阄也是可以的。第二次抓阄有两种可能性即下周五考试或下周五不考试。如果是后者，那么对它的实行是遵守了老师关于考试日期不可预测的承诺，但却违反了下周考试的承诺。再考虑不进行第二次抓阄的情况：遵守第一次抓阄结果即下周五考试，那么对它的实行是遵守了老师下周考试的承诺但却违反了让考试日期不可预测的承诺。既然对于不可操作的二阶悖论的解决是怎么做都行，那么，这两种解决方案便是平分秋色的。
六、双信封悖论
双信封悖论（the two envelopes paradox）早在上世纪初就被提出，直到现在仍被哲学家和经济学家们讨论。[4]双信封悖论是这样的：面对A和B两个信封，A内装有X元钱，B内装有Y元钱，并知其中一个信封内的钱是另一个的2倍，问你选哪个信封？
令E(X)和E(Y)分别为A、B两信封的期望值。由于信息均等，或者说由于信息的无差别性，故E(X)＝E(Y)。于是，当面临A和B的选择时不应有倾向性，只应随机地选择其中一个。这就是所谓的“无差别原则”（the Principle of Indifference）。
然而，一旦你选择其中一个信封，则对另一个信封的期望值成为：
选择A，对B的期望值是: E(Y)＝1/2×X/2+1/2×2X= X 5/4
或者：
选择B，对A的期望值是: E(X)＝1/2×Y/2+1/2×2Y= Y 5/4
这样矛盾便出现了：你对信封A的期望值既大于B又小于B，即：E(X)>E(Y)并且E(X)
对双信封悖论的一种解决方案是对其条件加以限制，即把两个信封的金额总数固定下来。一旦把金额总数固定下来，悖论就不存在了。现假定两个信封的金额总数是S，平均分为三份，每份为S/3。相应地，对A信封和B信封的期望值均为：E(X)＝E(Y)＝1/2×2S/3+1/2×S/3= S/2。由于两个信封的期望值是相等的，即各为金额总数的一半，所以双信封悖论并不存在。[5]
然而事情并未结束。双信封悖论涉及你是持有还是交换一个信封的操作，因而属于操作悖论。对于一个操作悖论来说，以上的解决仅仅是前面所说的弱方案，即限定条件的方案，正如把理发师悖论中的“所有人”限定为“除理发师以外的所有人”。对于操作悖论的解决还有一种强方案，即对两个信封的金额总数不做限制。
在对双信封的金额总量不做限定的情况下，你将回到“这山望见那山高”的局面，因而你将不停地交换信封。不过，稍加思索就会发现，这实际上是一种操作的动态平衡，我们不妨称之为“动态无差别性”。相应地，一开始由于信息的对称性而导致的认识上的无差别性可以叫做“静态无差别性”。尽管动态无差别性和静态无差别性有所不同，但它们都使得E(X)＝E(Y)最终是成立的。于是，我们又回到当初根据静态无差别原则做出的决定即：随机地选择一个信封，并且不再交换。
为了使讨论更为深入，我们将问题情境改变一下：让你知道一个信封的钱数，如A中有100元，那么关于B的期望值是E(Y)＝1/2×100/2+1/2×200=125元，因此你应该选择B信封。由于E(X)＝X＝100元，故而E(Y)大于E(X)，所以你不会再将B信封交换为A信封，这样便确定地选择了B信封。在这种情况下，无论静态无差别原则还是动态无差别原则都不适用，既然E(Y)>E(X)。
不过，即使在这后一种情况下，悖论仍然是潜在地存在着，因为那已知的装在A信封内的100元并没有起到实质性的作用。也就是说，不管A里面有多少钱，只要你把A打开，你就发现应该选择B。如果你一开始知道其钱数的信封不是A而是B，那么你将选择A。钱包总是别人的好，这山总是不如那山高，这一点并没有改变。于是，不停地交换信封又将开始，又回到了前一种动态平衡的双信封悖论。幸好，动态平衡的双信封悖论可以被消除，即随机地选择一个信封，并且不再交换。
其实，动态平衡的双信封悖论属于我们在前面谈到的二阶主体操作悖论，它涉及对于决策论的最大期望效用原则的遵守或违反：当你选择信封A时，按照最大期望效用原则，你应该选择B；一旦你选择B，你便违反了最大期望效用原则，因为此时选择信封A具有更大的期望效用；以此循环往复，没有终结。前面指出，对于这种悖论，无论做出怎样选择都是一种解决，包括拒绝选择。不过在这里，拒绝选择比起选择任何一个信封无疑是最差的，其收益是0，应当予以排除。由此便得出上面的结论：无论选哪一个信封都行。
双信封悖论表明，决策论的最大期望效用原则在有些情况下是无意义的，进而导致它的不可操作性，成为二阶主体操作悖论。对于二阶主体操作悖论，解决它是容易的：在候选的诸方案中随便选择一个；当然，事先已经排除的方案不在考虑之列。
七、结 语
在以上讨论中悖论被分为四种，即一阶客观描述悖论、二阶客观描述悖论、一阶主体操作悖论和二阶主体操作悖论。我们把意外考试悖论、求婚者悖论、双信封悖论和理发师悖论等定位在二阶主体操作悖论，并对它们统一地给以二阶操作性解决。与之不同，说谎者悖论属于二阶客观描述悖论，由于它只涉及语义而不涉及操作，因而不能对之给以二阶操作性解决。对于语义学来说，语义悖论的荒谬性是终极性的，至多给以弱解决即限定条件的解决，如塔尔斯基关于说谎者悖论的分层语言方案。二阶客观描述悖论就是通常所说的“语义悖论”，我们也可把二阶主体操作悖论简称为“操作悖论”。操作悖论不仅可以有弱解决，而且可以有强解决。本文就是对于若干操作悖论一揽子地给以强解决。
本文开始就谈到，关于意外考试悖论，以往的解决之所以不太成功，关键在于没有对它给以恰当的定位，即没有定位于操作悖论，而是主要地被定位于认知悖论。在笔者看来，“认知悖论”是一个比较含糊的概念，它本身并无独立的地位，因而它要么被归入语义悖论，要么被归入操作悖论。如果是语义悖论，那就需要给出一个弱解决，即通过对语义规则加以某种限制而消除之。如果是操作悖论，那就可以给出两种解决，一是弱解决，另一是强解决。一个操作悖论之所以能够加以弱解决，因为它本身也是一个语义悖论。一个操作悖论之所以能够加以强解决，那是因为它除了是一个语义悖论之外，它还具有不可操作性；而不可操作本身就是一种操作，这是操作的闭包性所致。对于操作悖论的强解决就是怎么做都行。具体到意外考试悖论，对它的强解决包括：老师在下周的任何一天考试，也可不考试。这一强解决使得，意外考试的承诺是可以实现的，如通过抓阄来决定下周哪一天考试或不考。
最后提及，张建军教授曾将悖论分为语形悖论、语义悖论和语用悖论，语用悖论包括认知悖论和合理行为悖论；在这三类悖论之外还有哲学悖论和物理学悖论等。[3]14-21这一分类是富有启发性的，但笔者以为，所谓的“语形悖论”如集合论悖论应归入语义悖论，因为导致此悖论的根源就是构造集合的概括原则，通过对此规则加以限定便可以给出它的弱解决。所谓的“哲学悖论”和“物理学悖论”如芝诺悖论和光速悖论也都属于语义悖论，而且是一阶语义悖论。[3]所谓的“合理行为悖论”属于笔者所说的“操作悖论”。所谓的认知悖论一部分属于语义悖论如“盖梯尔悖论”（Getter’s paradoxes），另一部分属于操作悖论如“意外考试悖论”。可以说，罗素早在上世纪初提出的集合论悖论和理发师悖论分别代表了悖论的两个基本类型，即语义悖论和操作悖论。
参考文献：
[1] D. J. O'Connor, “Pragmatic paradoxes”[J],Mind, 1948 (57): 358-359.
[2] W. V. O. Quine, “On a So-called Paradox”[J],Mind, 1953 (62): 65-67.
[3] 张建军：《逻辑悖论研究引论》[M]，南京：南京大学出版社，2002年。
[4] 罗伊·索伦森：《悖论简史》[M]，贾红雨译，北京：北京大学出版社，2007年。
[5] Adom Gffin, “The Error in the Two Envelopes Paradox”[OL], http://wenku.baidu.com/view/8838eb4469eae009581bec3d.html
[6] K. Levy, “The solution to the surprise exam paradox”[J], The Southern Journal of Philosophy, 2009 (47): 131-158.
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[11] Stanford Encyclopedia of Philosophy:“Epistemic paradox” [OL], http://plato.stanford.edu/ search/searcher.py?query=epistemic+paradox
[12] 马耀基：《意外考试悖论的逻辑和博弈分析》[D]，中山大学博士学位论文，2012年，待发。
注释：
[1]其中谈道：“由矛盾命题互推而建构的矛盾等价式，能够在形式上即可显示出逻辑悖论与普通的逻辑矛盾的差别”。
[2] 这后两个质疑都是由中山大学博士候选人马耀基提出，他与笔者就意外考试悖论的争论对于本文的改进或完善起到促进作用，笔者在此表示谢意。
[3] 以“飞矢不动”这个芝诺悖论为例，其语义公设是“时间和空间是连续的因而是无限可分的”。基于此公设，射出去的箭要到达任何一点，无论多么近，都需经过无数多个中间点。要经过无数多个中间点就需要花费无数多个瞬间，而无数多个瞬间就是无限长的时间。所以，飞矢只能停留在原点即飞矢不动。然而，事实上飞矢是动的。在这个悖论中，作为相反的两个命题“飞矢不动”和“飞矢运动”之间是不可互推的，因而不具有二阶悖论的性质，只具有一阶悖论的性质，即二者必有一假。并且此悖论属于对“飞矢”的客观描述，因而属于语义悖论。“光速悖论”是类似的，即一个基于“光速不变”和“伽利略相对性原理”的一阶语义悖论。
