摘要：民主制度的社会选择是基于多数投票规则的。投票悖论表明，把适合于个体逻辑理性的传递律用于投票选择是不适当的，因为投票的主体是一群人而不是一个人，而且不同的多数所包含的成员是有所不同的。投票选择的集体合理性是非演绎闭包的，称之为“弱合理性”，不同于个体拥有的演绎闭包的“强合理性”。除了逻辑合理性之外，集体合理性还涉及伦理合理性和实用合理性。阿罗及其“不可能性定理”以及相关文献没有对“合理性”概念给以细致的区分，或明或暗地把关注点从逻辑合理性转向伦理合理性，致使其论证无论在逻辑上还是在内容上都有一定的缺陷。
关键词：社会选择 投票悖论 阿罗不可能性定理 合理性 演绎闭包
诺贝尔经济学奖获得者肯尼斯·阿罗（Kenneth J·Arrow）在其力作《社会选择与个人价值》（Social Choice and Individual Values，1951年）提出著名的“阿罗不可能性定理”（Arrow's impossibility theorem），这个定理是针对基于多数投票规则（即少数服从多数的规则）的民主制度的合理性而提出的。阿罗开宗明义地指出：“在资本主义民主制度中，有两种做出社会选择的基本方法：一种是投票，通常用于做‘政治’决策；另一种是市场经济，通常用于做‘经济’决策。……前一种方法的作用范围更大，即是说，社会选择直接或间接地基于投票，而较少地基于价格机制。”[1]阿罗把投票方法看作社会选择的核心机制，其不可能性定理是从“投票悖论”（paradox of voting）引申出来的。因此，我们有必要从著名的投票悖论谈起。
一、投票悖论与逻辑合理性
投票悖论是由十八世纪法国思想家孔多塞（M. de Condorcet）提出的，因而又叫做“孔多塞悖论”。这个悖论的推导十分简单：假设甲乙丙三人面对ABC三个备选方案，他们的排序（ordering）是（>表示“优于”）：甲A>B>C，乙C>A>B，丙B>C>A。由于甲乙都认为A优于B，根据少数服从多数投票规则，社会也应认为A优于B；由于甲丙都认为B优于C，社会也应认为B优于C。根据偏好（preference）的传递性，社会应该认为A优于C。但是，乙丙都认为C优于A，社会应该认为C优于A。这样，由多数投票规则便导致逻辑矛盾：社会偏好是A>C并且C>A。这进而表明，基于投票程序的社会选择具有某种非理性的成分。
为解决投票悖论，人们提出不少方案，其中最有影响的是由邓肯·布莱克（Duncan Black）和阿马蒂亚·森（Amartya Sen）等人先后提出或改进的方案，其要点是限制投票偏好，将多峰偏好改为单峰偏好。[2]还以上面的例子来说，改变甲、乙、丙其中一个人的偏好次序，比如将甲的偏好次序从A>B>C改变为A>C>B，从而使三人的偏好次序成为：甲A>C>B，乙C > A > B，丙B > C > A。由此可以得到三个社会偏好次序：A>B、C>B和C>A，这里不存在投票悖论。不过，这样处理是有代价的，它改变了甲的偏好次序，意味着对选民自由的限制，这对投票选择和民主制度的基本精神有所偏离。
值得一提的是，布莱克和阿马蒂亚·森的这种研究方向成为当今社会选择理论的主流，进入本世纪以来发展成为一种更精致和形式化的理论体系即判断聚合理论（theory of judgment aggregation），其代表是利斯特（Christian List）和佩迪特（Philip Pettit）等人。虽然判断聚合理论取得诸多成果，但与倡导者们想要达到的目的相去甚远。利斯特不无遗憾的谈道：“以上考察的不可能性定理可被看作指出一种权衡：一边是判断聚合的退化（尤其是在独裁的形式中），另一边是判断聚合的潜在的可操纵性。正如在社会选择的其他分支中，完美的聚合规则是不存在的。”[3]利斯特所说的“聚合规则”就是包括多数投票规则在内的各种社会选择规则，甚至包括独裁规则。利斯特告诫人们，如果想要避免“退化的”独裁规则，那就不得不采用具有“可操纵性”的其他规则，舍此没有更好的办法。
笔者认为，通过改变多数投票规则来避免投票悖论的方案是不可取的，这无异于削足适履，舍本逐末。投票悖论是关于投票程序的逻辑问题，是以多数投票规则为先决条件的，其中蕴涵选民的投票自由权和少数服从多数的原则。投票悖论之所以值得重视，那是因为它所涉及的多数投票规则的民主性质是非常重要的；如果改变这些民主性质甚至摈弃多数投票规则本身，那么投票悖论本身也就不值得重视了。投票悖论是对多数投票规则加以逻辑分析的结果，主要是一个逻辑问题而不是制度问题，因此，我们首先应当对它从逻辑的角度加以解决。
在笔者看来，导致投票悖论的关键因素是对传递性（transivity）这一逻辑推理的误解和误用。个人偏好具有传递性，这是毫无疑问的，因为这是偏好的逻辑性质，正如数学中的“>”（大于）具有传递性。但是问题在于，个人偏好的传递性能否直接推广到基于投票选择的社会偏好上？笔者的回答是否定的，因为投票选择是以多数投票规则为依据的，而在不同的投票选择中，构成多数的成员往往是不同的，尽管会有重叠部分。
以投票悖论为例，持有A优于B的多数是由甲和乙构成的，持有B优于C的多数是由甲和丙构成的，在“A优于B”和“B优于C”之间进行逻辑传递，是把逻辑传递用于不同主体。如果这样的逻辑传递是允许的，那么类似的“逻辑悖论”随处可见。例如，甲认为“萝卜好于白菜”，乙认为“白菜好于萝卜”，这是很普通、很正常的事情，正所谓“萝卜白菜，各有所爱”；然而，如果允许把逻辑传递用于不同的主体，那将得出“萝卜好于萝卜”的悖论，从而把一个很正常的事情看得很奇怪。[4]
在笔者看来，投票悖论的本质正如“萝卜－白菜”悖论一样，是由错误地使用传递律而造成的。这就是说，传递律并不是基于多数投票规则的社会选择的合理性原则，尽管它是个体选择的合理性原则。如果硬要把传递律用于投票选择，就会导致所谓的“投票悖论”，从而得出结论：基于多数投票规则的社会选择不具有合理性（rationality）；为了挽救社会选择的合理性，必须在一定程度上背离多数投票规则。这实际上就是阿罗不可能性定理的核心内容和错误所在，尽管阿罗本人并没有明确地认识到这一点。
阿罗不可能性定理说白了不过是：具有逻辑合理性的多数投票规则是不可能存在的；换言之，具有逻辑合理性的社会选择规则一定不是标准的多数投票规则。于是，人们把注意力放在寻找非标准的社会选择规则上，使之一方面具有逻辑合理性，另一方面尽可能多地保留多数投票规则所具有的民主性，而不至于退化为独裁规则。布莱克和阿马蒂亚·森等人倡导的“单峰偏好”方案就是诸多此类方案中的一种。
然而，笔者认为这一努力方向并非最好的，因为它是以在一定程度上牺牲民主原则为代价的。相比之下，另一种努力方向更为可取，即在“逻辑合理性”上做文章，将它区分为强的和弱的。这一区分涉及“演绎闭包”（deductive closure）概念。演绎闭包性要求：如果接受一组命题，那么也应接受由以逻辑地推出的任何命题。例如，如果接受“A优于B”和“B优于C”，那么必须接受“A优于C”。我们把演绎闭包的合理性称为“强合理性”或简称为“合理性”，而把非演绎闭包的合理性称为“弱合理性”。当然，这是对逻辑合理性而言的，因为“演绎闭包”是一个逻辑概念。
演绎闭包对于个体合理性来说是理所当然和必不可少的，否则逻辑推理将成为没有意义的了，可见，个体合理性是强合理性。与之不同，由于多个投票选择的结果往往是出于不同的“多数”，所以在投票结果之间不应进行逻辑推理，因而是非演绎闭包的；这意味着，多数投票规则所涉及的集体合理性是弱合理性。因此，我们应对多数投票规则加以“非演绎闭包”的条件限制。
在非演绎闭包条件的限制下，由多数投票规则不会导致投票悖论；因为从“A优于B”和“B优于C”这两个投票结果得不出“A优于C”的集体选择（聚合判断），因而不会与另一个投票结果“C优于A”发生矛盾。投票悖论就此得以消除。这意味着，多数投票规则具有一定的逻辑合理性，即逻辑一致性亦即不矛盾性，尽管其逻辑一致性是在非演绎闭包的条件限制下实现的；正因为此，其逻辑合理性是弱的。
需强调，对多数投票规则加以“非演绎闭包”的逻辑限制以使它保留弱合理性，这并非退而求其次的无奈之举，而是多数投票规则的应有之义。至此，笔者给出一种摆脱“不可能性”困境（即由阿罗不可能性定理所导致的困境）的方案，此方案保留了多数投票规则本应具有的弱的逻辑合理性，同时原封不动地保留了多数投票规则的民主特征。与之相比，布莱克和阿马蒂亚·森的单峰偏好方案以及后来的判断聚合理论，都是在一定程度上以牺牲社会选择的民主性质来使集体选择规则（聚合规则）满足它所不应具有的强的逻辑合理性。显然，前一个方案优于后一个方案。
二、“不可能性”困境与多种合理性
在笔者看来，没有把逻辑合理性区分为强的和弱的，这是阿罗和主流社会选择理论的关键性错误，以致他们把适合于个体的强合理性强加到进行投票选择的集体之上，导致阿罗不可能性定理和相应的“不可能性”困境。为了让投票集体满足强逻辑合理性这个不适当的要求，他们不得不以牺牲多数投票规则的民主特征为代价，以此作为摆脱“不可能性”困境的可能的出路。
当然，人们对社会选择的民主性要求也是一种合理性要求，但这不属于逻辑合理性，而属于伦理合理性或价值合理性。阿罗等人没有区分这两种不同的合理性，在有关论述中常常在“合理性”名义下进行概念的转移或“偷换”，以致阿罗的“不可能性定理”及其论证存有不少缺陷。下面让我们对阿罗不可能性定理所涉及的合理性条件进行分析。
阿罗谈道：“投票和市场的方法，是汇集许多不同的个人趣味来做出社会选择的方法。在任何个人是理性地做出他的选择的意义上，社会选择的独裁方法和传统方法也是理性的。但是，在涉及许多个人不同意志的集体选择中，这种个人选择和社会选择的协调性还存在吗？”[5]
这就是阿罗所提出的核心问题，即能够把个人选择的合理性推广到基于投票的社会选择上去吗？对此，阿罗以其“不可能性定理”给以否定的回答。阿罗论证的思路大致是：首先列出有关投票选择的五个合理性条件；其次证明在只有两个备选对象的情况下，投票选择可以满足这五个条件；然后证明在超过两个备选对象的情况下，投票选择不可能同时满足这五个条件。需指出，阿罗之所以把只有两个备选对象和超过两个备选对象的投票程序加以区分，直接受到投票悖论的启发，因为投票悖论是关于三个备选对象的，两个备选对象可以避开投票悖论。
阿罗给出的五个合理条件是：1、广泛性条件，2、正相关条件，3、独立性条件，4、公民主权条件，5、非独裁条件。条件1实际上包含两部分内容，其一是要求基于投票的社会选择满足两条逻辑公理即连通性（connection）和传递性，其二是允许选民持有任何逻辑上可能的个人排序。
笔者把条件1所包含的两部分分别叫做“逻辑合理性条件”和“自由条件”。显然，自由条件不是关于逻辑合理性的，而是关于伦理合理性的。阿罗的条件1把两种不同性质的合理性合在一起，显示出阿罗对逻辑合理性和伦理合理性的混淆。此外，这里涉及的逻辑合理性是演绎闭包的，因为它要求接受传递性推理的结果；这意味着，条件1所涉及的逻辑合理性是强合理性而不是弱合理性。
值得注意的是，阿罗又把条件1所包含的逻辑要求抽取出来分为两条公理加以强调，即关于连通性（有关文献也称之为“完全性”[completeness]）的公理1和关于传递性的公理2；并试图证明，在只有两个备选对象的情况下，投票选择满足这两条公理。笔者将指出，阿罗的这一证明是错误的，尽管其结论未必是错误的，因为把传递律用于任何投票选择都会涉及不同的投票主体，因而是对传递律的误用。我们有必要首先了解阿罗所使用的一些术语和符号。
阿罗作为一位经济学家，他把基于多数投票规则的选择程序看作一种特殊的“社会福利函数”：“社会福利函数是指这样一个过程或规则，对应于各备选社会状态的每一组个体排序R1，R2，… Rn（每个人给出一个排序），它都相应地指出一个对各备选社会状态的社会排序，即R。”[6]这就是说，社会福利函数是从所有个人排序Ri到社会总体排序R的映射关系，这便决定了社会总体排序与个人排序之间是一种函数关系，即所有个人排序确定之后，社会排序也随之确定。
与福利相关的排序也叫做“偏好”，社会福利函数也就是从个体偏好向社会偏好的映射。排序有强弱之分：强序（strong ordering）是“优于”（to be preferred to）关系，弱序（weak ordering）是“优于或等于”（to be preferred or indifferent to）关系。偏好也有强弱之分，强偏好和弱偏好分别对应于强序和弱序。不过，阿罗把“弱序”简称为“序”，而把“强偏好”简称为“偏好”，这使“序”和“偏好”的用法在强和弱上正好相反因而不能互换。[7]阿罗用字母“R”表示序和弱偏好，用字母“P”来表示强序和偏好，区分R和P是重要的。不过，为了表述方便，在不引起误会的情况下，笔者有时把“序”（排序）和“偏好”作为同义词来使用。
阿罗把投票选择叫做“社会福利函数”，又叫做 “社会选择函数”，并对之提出一些限制条件。公民主权条件排除这样一种映射关系：无论个人偏好如何变化而社会偏好保持不变。[8]非独裁条件排除这样一种映射关系：社会偏好只随某一个人的偏好而变化，其他人的偏好都是无关的。[9]显然，公民主权条件和非独裁条件属于伦理合理性的范围，并且公民主权条件可以把非独裁条件包含进来，因为根据以上表述，违反非独裁条件一定违反公民主权条件；具体地说，如果社会偏好只随某一个人的偏好而变化，那么社会中多数个人的偏好的变化将不能改变社会偏好。
前面提到，阿罗的条件1不仅包含逻辑合理性条件，而且包含自由条件，而自由条件属于伦理合理性。其实，公民主权条件（和非独裁条件）也包含自由条件。阿罗在解释公民主权时谈道：“我们当然希望社会中每个人都能按个自的价值观，自由地在备选对象（alternatives）中进行选择。我们并不希望社会福利函数的定义本身，阻止我们表达某一备选对象优于另一备选对象的意愿。”[10]可见，阿罗的公民权利条件（和非独裁条件）是以自由条件为必要条件的。以下还将指出，公民权利条件（和非独裁条件）比自由条件多出的内容将包含在“正相关条件”之中。
阿罗的正相关条件的全名是“社会价值与个人价值的正向联系”（positive association of social and individual values），它所要求的映射关系是：“如果某一备选社会状态在每一个体排序中的地位都有所增高或保持不动，而其他备选状态在排序中不变，那么我们要求在社会排序中该备选社会状态的地位也要有所升高，至少不应下降。”[11]其要义是社会选择必须与多数人（甚至所有人）的选择是同向变化的，亦即社会福利的大小是随多数人福利的大小而变化的。显而易见，正相关条件属于伦理合理性的范围，并且蕴涵非独裁条件和公民权利条件的部分内容（超出自由条件的部分）。
正相关条件主要涉及的不是自由问题，而是公平和正义的问题，体现了边沁－密尔的功利主义道德原则，即增进最多数人的最大幸福。阿罗坦然地承认：“边沁及其追随者们的功利主义哲学试图把社会利益建立在个人利益之上。……这种观点为政治民主和自由放任的经济……找到了理论依据。”[12]不难看出，正相关条件与福利经济学的帕累托最优原则以及罗尔斯正义论的差别原则也是密切相关的。据此，我们可以把正相关条件称为“正义条件”。在笔者看来，正义条件和自由条件就是阿罗合理性条件所蕴涵的伦理内涵或价值内涵，而且是其主要的内容。
阿罗对其合理性条件的伦理性质供认不讳，他谈道：“对于社会福利函数的构造，到此已提出了五个显然是合理的条件。当然这些条件属于价值判断，并且还可以对之提出疑问。总得说来，它们以一种非常一般的形式表达了关于公民主权和理性的学说，并允许公民中存在在广泛的价值观。”[13]
阿罗所说的“价值”相当于我们所说的“伦理”，并可归结为公民主权，即笔者所说的自由和正义。不过，由于阿罗没有明确区分伦理合理性和逻辑合理性，致使他总是笼而统之地谈论“五个显然是合理的条件”，有时强调这些条件的伦理方面（如在以上引文中），有时则强调它们的逻辑方面（如把条件1所涉及的两条逻辑规则提升为两条公理），并且试图把这五个条件用严格的逻辑语言表述出来。然而，正如前面已经指出的，阿罗的表述和论证其实并不严格。接下来的两节我们将分别以阿罗的条件3即独立性条件和“二对象可能性定理”为例来说明这一点。在此之前，有必要提及与投票悖论直接相关的“无果困境”和实用合理性。
第一节提到，笔者对投票悖论的解决方案是对投票结果（社会选择或集体判断）加以非演绎闭包的条件限制，即禁止对投票结果使用传递律等逻辑规则。此方案虽然可以避免像“投票悖论“这样的逻辑悖论，但却会导致投票程序失去选择功能的尴尬局面。还以投票悖论的那个例子来说，禁止对投票选择使用传递律，可以避免得出A>C并且C>A的逻辑矛盾，但却得出A>B、B>C和C>A的恶性循环，因而达不到社会选择的目的。我们不妨把这后一种恶性循环的局面叫做投票选择的“无果困境”。此外，在只有两个备选对象的情况下，虽然不会出现恶性循环的结果，但却可以出现两个候选者得票相等的情况，这也是一种无果困境。
投票选择的无果困境表明投票程序具有某种实用上的缺陷，属于实用困境。事实上，投票选择的无果困境是不难克服的，一种常用的方法是重复投票。当第一次投票结果出现僵局，可以进行第二次或第三次，在此过程中，一些态度中立者可能改变投票方向或弃权，甚至可以通过协商而把候选对象由三个减少为两个，这样便可消除候选者得票相等或优先次序循环的情形。这在实际的投票过程中是可行的，因为长期的僵局对多数人是不利的。
总之，实用困境的性质决定了对它的解决也是实用的和灵活的，这与解决逻辑困境的方法是十分不同的。对这两种不同困境的解决涉及两种不同的合理性，即实用合理性和逻辑合理性；此外，投票程序还涉及伦理合理性。
三、对独立性条件和其他条件的辨析
独立性条件的全名是“对无关备选对象的独立性”（the independence of irrelevant alternatives）。首先，这个名称是不恰当的，任何事物对于与它无关的情况当然具有独立性，这几乎是一句废话。其次，其内容是模糊不清的。阿罗解释说：“我们认为由社会排序R得来的选择函数C(S)确实是社会在面临备选对象集合S时所作的选择，那么就应像单一个体那样，社会从任一固定环境S中所作出的选择应该与S之外是否存在其他备选对象无关。”[14]我们知道，S的范围就是选择函数C(S)的定义域，任何函数对于定义域以外的变量都保持其独立性，这是函数的应有之义，否则就没有资格叫做“函数”。既然阿罗是以数学和逻辑的严格性来表述这一条件的，那么这一条件从数学和逻辑的角度看完全是多余的。
我们再对阿罗为说明此条件所举的例子进行分析。阿罗举例说：
“假设要举行一次选举，有若干候选人，每个选民填一张偏好顺序表，而这时一位候选人突然去逝了。虽然，此时应从每一张列表中划去已故候选人的名字，并且按预先定好的步骤仅从原来各列表中剩下的候选人的排序中确定最后的获选者。也就是说，从活着的候选人集合S中作出的选择应该与各人对不在S中的候选人的偏好无关。要不然，选举的结果就会依赖于某候选人在投票日期前去逝或在此之后去逝这样一个随机的因素。”[15]
从这个例子我们看到，一个候选人死去之后的环境（即定义域）是S，在他死之前是另一个环境不妨记为S’，S与S’的唯一区别是少了一位候选人。阿罗通过这个例子真正要表达的意思是，候选人之间的先后排序不受候选者增减的影响；无论从候选人中减少一个或增加一个，原来的先后排序保持不变。
请注意，先后排序不变不等于名次不变；如去逝的是原来的第一名，那么原来的第二名变成了第一名，但他与其他候选人的先后排序不应因此而改变。这就是以上例子所要表达的意思。在这个意义上，投票选择的独立性是投票结果（社会偏好）在先后排序上的独立性，并且不是对无关对象的，而是对有关对象的；如那个突然去逝的候选人，他的存在与否是S与S’这两个环境的唯一差别，因而是有关的。进而言之，即使仅对原来的环境S’而言，我们仍然可以说，即使那个候选人突然死了（实际上没有死），那么在投票选举的结果中，其他人的先后排序仍然保持不变。可见，阿罗在对这个条件的表述和举例中强调“无关对象”大可不必，反而使其真正的涵义变得模糊起来。[16]
在独立条件的表述中，阿罗犯了一个更为严重的错误即“偷换概念”。阿罗在给出以上例子之后谈道：“我们要求社会福利函数能保证社会从一给定的环境中作出的选择，仅与在该环境下各个体对备选对象的排序有关。换句话说，若考虑两组个体排序，每一个体对给定的环境中的那些特定的备选对象的排序每次（each time）都是一样的，那么社会在该给定环境下由第一组个体排序所作的社会的选择应与由第二组个体排序所作的相同。”[17]
笔者对于阿罗这段话的置疑之处在于“每次”。如果每一个体对于备选对象的排序每次都是一样的，那所谓的“两组个体排序”岂不是同一组个体排序吗？由同一组个体排序得出的社会排序当然是相同的，这个要求无异于一句废话。如果不是这样，阿罗必须给这个条件赋予另外的涵义。的确，我们从阿罗对这段话的符号表达中似乎看出另外的涵义。阿罗紧接这段话给出独立性条件即条件3的符号表达：
条件3：设R1,……,Rn和R’1,……,R’n为两组个体排序，且C(S)和C’(S)为对应的两社会选择函数。若对所有个体i以及给定环境S的所有x和y，当且仅当xR’iy时才有xRiy，那么C(S)和C’(S)是相同的（对无关备选对象的独立性）。[18]
从这个关于条件3的表述看，两个社会选择函数是否一样，完全取决于它们对于S中的所有元素对x和y的排序是否一样。当然，这里的x和y代表所有的元素对，而不只是特定的某两个元素。这等于说，如果两个社会选择函数对于给定环境S中的所有备选对象（两个或多于两个）的排序是相同的，那么，这两个社会选择函数是相同的，而与S以外的元素无关。我们已经指出，这个意义上的独立性条件几乎是一句废话，没有实质性意义。
不过，我们还可对这一符号表述做另一种解释，即：如果一个社会选择函数对给定环境S中的每两个备选对象x和y的排序是相同的，那么该函数对S中的所有备选对象的排序也是相同的。
这是对“排序每次都是一样的”另一种解释，其中的“每次”相当于“每两个备选对象”。这种意义的独立性条件不是废话，但却是可疑的：如果S中的备选对象多于两个，如包括x、y和z这三个元素，当所有元素对即x和y、x和z、y和z的排序确定以后，x、y和z这三个要素之间的排序一定随之确定吗？“投票悖论”给我们的答案是否定的，因为在两两排序确定的情况下，三个元素之间的排序有可能出现不确定的局面，如x优于y，y优于z，z优于x。可见，阿罗的条件3在这种意义上是不成立的。于是，阿罗的条件3面临一个二难局面：要么无意义，要么不成立。
笔者建议摈弃阿罗对独立条件的这种表述，而从他所举的例子中抽取出另一种涵义，即前面所指出的：投票选择的独立性是投票结果（社会偏好）在先后排序上的独立性，而与备选对象的增加或减少无关。不妨称之为“先后排序独立性条件”。先后排序独立性条件是有意义的，并且是必要的，因为对于解决投票选择的无果困境，此条件常常是被用到的。
前面谈到投票选择的无果困境，表现为某些备选对象得票相同，包括优先次序循环的投票结果。解决的方法之一是把得票相同的那些备选对象抽取出来再次投票以致多次投票，重复投票的结果不影响它们与其他备选对象之间的先后排序关系。例如，对得票最多但却得票相等的两名候选人重新投票，以决出谁是第一名；但无论结果如何，都不影响他们与第三名和之后其他候选人之间的次序关系。这便是对先后排序独立性条件的应用。无果困境是实用性的，它所涉及的合理性属于实用合理性。
至此，笔者将阿罗的独立性条件以及其他合理性条件加以改造或重述。首先，将条件1一分为二，将其中关于连通性和传递性的要求称之为“逻辑合理性条件”，并指出那是强合理性而不是弱合理性，因而这一条件对于多数投票规则是不适合的。其次，把条件1的另一部分与条件4（公民主权条件）和条件5（非独裁条件）的部分内容一道归入“自由条件”。第三，把条件2（正相关条件）看作“正义条件”， 并把条件4和条件5的其余部分一道归并进去。正义条件与自由条件同属伦理合理性的范围。第四，把条件3（对无关备选对象的独立性条件）改造为关于备选对象的先后排序的独立性条件，并把它归入实用合理性的范围。[19]
四、对阿罗“二对象可能性定理”的辨析
为保证社会福利函数（投票选择）的通用性或普适性，阿罗要求不对个人偏好做任何限制，允许一切逻辑可能的个人偏好及其组合，这就是阿罗条件1中的部分内容，即笔者所说的“自由条件”。对条件1，阿罗解释说：“如果我们在给出社会福利函数之前不要求任何关于个体趣味的先验知识，那么这样的函数必须对任意逻辑上可能的个体排序组都是有定义的。从对任何集体都适用的角度看，这种社会福利函数具有通用性。”[20]
阿罗所说的“逻辑上可能的个体排序组”，暗含着对个体排序的某种最低限制，即必须具有逻辑合理性；具体地说，必须满足有关逻辑合理性的两条公理，即连通性公理1和传递性公理2，除此之外，不加任何限制。在有关文献中，条件1被称为“广泛性条件”或“通用化条件”，笔者则把它看作“自由条件”和“逻辑合理性条件”的组合，这样能够更为准确地反映阿罗赋予条件1的内涵。
阿罗谈道：“已充分表明了构造满足条件1－5的社会福利函数的极端困难性。……如果只有两个备选对象，要构造这样的社会福利函数是可能的，当然，对于这种情况，条件1必须要改变。现在要求对所考虑的两个备选对象的任意一组个体排序，社会福利函数都应给出一满足公理Ⅰ和Ⅱ的社会排序。”[21]
我们看到，阿罗不仅要求个体排序必须满足公理1和公理2所要求的强逻辑合理性，而且对社会排序给以同样的要求；正因为此，他把逻辑合理性的要求放在公理的位置上。更为重要的是，阿罗把只含两个备选对象和含有三个以上备选对象的社会福利函数严格地加以区分，因为在他看来，前者满足两条公理而后者不满足。不过阿罗没有明确地这样说，而只是笼统地说，前者满足五个合理性条件，而后者不满足。这种说法模糊了问题的关键所在。
为什么在考虑只有两个备选对象的时候需要改变条件1呢？因为阿罗正式表述的条件1包含对三个以上备选对象的要求，以使它具有广泛性或通用性。[22]在把条件1改为两个备选对象的情况下，阿罗给出一个看似相反的定理，即二对象社会选择满足全部五个条件的“可能性定理”；与之不同，对于三个以上备选对象，他给出的是社会选择满足全部五个条件的“不可能性定理”；由于后者更具普遍性，因而以“阿罗不可能性定理”而著称。
然而，笔者将表明，对于基于投票程序的社会选择来说，二备选对象和多备选对象之间并无本质的区别，而阿罗却用可能性定理和不可能性定理来区别之，这是有严重误解甚至是歪曲的，有必要加以澄清。问题的关键在于，无论有多少备选对象，投票选择都不满足条件1所包含的传递性要求，当然也就不能同时满足全部五个条件。直观地说，在只有两个备选对象的情况下，根本用不着传递律，当然不会违反它；但这并不表明传递律被二对象所满足。笔者并不否定阿罗关于多对象的不可能性定理和二对象的可能性定理的某种表层意思，即前者不可能避免投票悖论而后者却是可能的，但不赞成阿罗为之给出的理由和论证，以及他赋予这两个定理的某些内涵。下面将对阿罗的有关论证进行分析。
阿罗关于二对象投票选择满足两条公理的证明如下：[23]
设N(x,y)为持有xRiy（x优于或等于y，带下标的Ri是个体排序，不带下标的R是社会排序）的个体数目，即在x和y的对决中投票给x的选民数目。于是，基于多数投票规则的社会福利函数（投票选择函数）使得：
（1）当且仅当N(x,y)≥N(y,x)时才有xRy。
这是关于社会排序xRy的定义，即把x优于或等于y的社会（弱）偏好定义为具有这种偏好的人数多于或等于相反偏好的人数，因此，xRy的逻辑性质取决于N(x,y)≥N(y,x)的逻辑性质。显然，N(x,y)≥N(y,x)或者N(y,x)≥N(x,y)是成立的，因此，xRy或yRx也是成立的。这表明，基于多数投票规则的社会选择函数满足连通性公理（连通性公理是：xRy或yRx）。
（2）传递性公理是：如果xRy和yRz成立，那么xRz成立。在只有两个备选项x和y的情况下，传递性成为：如果xRy和yRx成立，那么xRx成立。对此，只需证明xRx成立即可。显然，xRx成立，因为N(x,x)≥N(x,x)成立。
不过笔者要指出，阿罗对于传递性公理的这个证明是具有偶然性的，他利用了弱序兼具强序和相等的特点，所证明的传递性其实只是相等关系的传递性。按理说，强序关系xPy和yPz之间也具有传递性，但是由于一对象与它自身不具有强序关系，即xPx不成立，亦即N(x,x)＞N(x,x)不成立，这使两个对象之间不具有强序的传递性，即“如果xPy和yPx，那么xPx”不成立。
传递性在其本质上是针对强序而言的，因为相等关系的传递性说到底不过是一个对象的自我同一性。当弱序的传递性不能把其中的强序包含进去，那么弱序的传递性只不过是一个对象的自我同一性，所谓二对象之间的传递性就是如此。具体地说，根据阿罗给出的定义2：“xIy，当且仅当，xRy并且yRx”（“xIy”意为“x等于y”），[24]二对象之间的传递性即“如果xRy和yRx成立，那么xRx成立”逻辑等值于：“如果xIy成立，那么xIx成立”。其实，xIx（即xRx并且xRx）总是成立的，并不依赖于xIy的成立。这样，所谓二对象之间的传递性便归结为一个对象的自我同一性。
由此可见，关于两对象之间的弱序传递关系不具有代表性，因为它没有反映其中所包含的强序关系的传递性，而只反映了相等关系的传递性，而相等关系的传递性不过是同一对象的自我同一性。因此，我们甚至可以说，把传递性用于两个对象正如把它用于单一对象是无意义的，更谈不上传递律对二对象是成立的。
为了把道理讲得更清晰，我们转而讨论具有代表性的三对象之间的传递性关系，然后再回到二对象之间的传递性关系。三对象之间的传递性关系是：如果xRy和yRz成立，那么xRz成立。为此，基于多数投票规则的社会选择函数必须使得如下关系成立：
（3）如果N(x,y)≥N(y,x)并且N(y,z)≥N(z,y)，那么N(x,z)≥N(z,x)
乍看起来，（3）似乎是成立的。举例来说，n个选民在三个候选人x,y,z之间进行选择，投票程序不是同时在三人之间进行，而是两两对决，即一对一地进行的，并且规定每个选民在每一次选举中只许投一张票而且不许弃权。令M(x,y)表示在x和y的对决中把票投给x的选民数目，M(y,x) 表示在x和y的对决中把票投给y的选民数目。又假定在x和y的对决中，x以多数选票获胜，因而有：M(x,y)＞n/2＞M(y,x)。在y和z的对决中，y以多数选票获胜，因而有：M(y,z)＞n/2＞M(z,y)。因此，M(x,y)＞n/2＞M(z,y)，即在x和y的对决中x所得票数多于在y和z的对决中z所得票数。
请注意，尽管这个结论是成立的，但这并不是（3）所要求的传递性；（3）所要求的结论应该是M(x,z)＞M(z,x)，而不是M(x,y)＞M(z,y)。（3）要求在同一场选举即x和z的对决中来比较x和z所得到的票数，而不是把x和z分别参加的两场不同选举的得票数进行比较。因此，以上这个例子与传递性无关。
这里的M(x,y)和M(y,x)之间是一种强序，不包含相等关系，而阿罗所说的N(x,y)和N(y,x)之间是一种弱序，包含相等关系。我们不妨再举一例，来说明弱序同样不能满足传递性公理的要求。
n个选民在三个候选人x,y,z之间进行选择，投票程序是一对一地进行的。但选举规则与前一个例子不同，即把每个选民在每一次选举中只可投一张票改为：可以只投一张票，也可同时给两个候选人各投一张票，以表示他认为两个候选人一样好，但不许弃权。按照阿罗的用法，N(x,y)表示在x和y的对决中把票投给x的选民数目，N(y,x) 表示在x和y的对决中把票投给y的选民数目。又假定在x和y的对决中，x以多数选票获胜或与y票数一样，因而有：n≥N(x,y)≥N(y,x)。在y和z的对决中，y以多数选票获胜或与z得票一样，因而有：n≥N(y,z)≥N(z,y)。由此我们不但得不出（3）所要求的N(x,z)≥N(z,x)，就连前一例子的貌似传递律的结果即N(x,y)≥N(z,y)也是得不到的。
例如，设n＝100，在x和y的对决中，x和y所得票数分别为N(x,y)＝60和N(y,x)＝50，即有10个选民同时投票给x和y，50个选民投了x而没有投y，40个选民投了y而没有投x。在y和z的对决中，N(y,z)＝80和N(z,y)＝70，即有50个选民同时投了y和z，30个选民投了y而没有投z，20个选民投了z而没有投y。这使x在与y的对决中所得到的票数（即60）并不大于或等于z在与y的对决中所得到的票数（即70）。
我们知道，传递性关系是需要一个中间项的，但在投票选举中不存在这样一个中间项，而所谓的关于投票选举的传递性其实是把两个不同的项即N(y,x)和N(y,z)作为中间项而导致的。从表面上看，N(y,x)和N(y,z)都是关于y的得票数，但这两个票数是从两个不同的选举（一个是x和y对决，另一个是y和z的对决）中得到的。由于缺少中间项，由投票表决得出的序关系即社会偏好是不可能具有传递性的，如果硬要把传递性赋予它，将不可避免地导致“投票悖论”。
同理，二备选对象的情况也是缺少中间项的。在此情况下，与上面公式（3）相对应的公式是：
（4）如果N(x,y)≥N(y,x)并且N(y,x)≥N(x,y)，那么N(x,x)≥N(x,x)
其中y的得票数N(y,x) 出现两次，但这两次出现的N(y,x)是得自两次不同的投票，一次可能大于x的得票数，另一次可能小于x的得票数。正因为此，这两次出现的N(y,x)可以是不同的数字，因而是两个项而不是同一个项，根本起不到传递律所需要的中间项的作用。另一方面，N(x,x)≥N(x,x)的成立与传递律无关，而是直接得自于任何对象的自返性即x＝x。因此，对于投票的社会选择来说，传递律不适合于任何数目的备选对象，无论是两个还是多于两个。
在对二对象社会选择满足传递律的论证中，阿罗还给出这样的说明：“由于仅有两个备选对象，所以x，y，z中必有两个是相同的……若x＝y或y＝z，则xRz这一结论是轻而易举的。为证明在x＝z之下有xRz，也就等于是要证明xRx。”[25]有人说，按照阿罗的这一思路，二对象之间的传递性并不只是存在于相等关系，而且存在于强序关系；进而表明，二对象之间的传递性完整地存在于弱序关系R。[26]对这一说法，笔者持否定的态度，具体分析如下：
在以上论证中，阿罗区分了两种情况。在第一种情况下，传递关系“如果xRy并且yRz，那么xRz”的前件成为“yRy并且yRz”（当x=y时），或者成为“xRy并且yRy”（当y=z时）；无论是这两种情况的哪一种，如果R是强序，前件都是假的。按照现代逻辑的一种说法，对于一个蕴涵命题而言，当前件为假时，无论后件是真是假，整个命题都是真的。
但是，请注意，这个说法是针对“实质蕴涵”而言的，对于“严格蕴涵”（尤其对于“相干蕴涵”）并不成立；表达传递律的命题不是实质蕴涵，而是严格蕴涵，因为传递律具有某种必然性。一个严格蕴涵命题是否成立，取决于它的前件和后件之间是否具有必然性，而这又取决于前件和后件之间在其内容上是否具有一种必然联系。前面已经表明，由于投票选择缺少传递律所需要的中间项，这使前件和后件之间在内容上不具有必然联系；因此，传递律不适合投票选择，或者说，投票选择不具有传递性。
此分析也适合于阿罗所说的第二种情况。在第二种情况下即x=z，传递关系变成为“如果xRy并且yRx，那么xRx”；当R是强序时，其前件和后件都是假的。从实质蕴涵的角度看，此命题也是真的，既然其前件是假的。但从严格蕴涵（相干蕴涵）的角度看，此命题是假的，因为其前件和后件之间同样缺少中间项。
五、对阿罗不可能性定理的澄清与修正
至此，我们也得到一个不可能性定理，即：通过多数投票规则而产生的社会偏好（无论多备选对象还是二备选对象）不可能满足传递律，因而不具有强的逻辑合理性。这个不可能性定理可以叫做“投票选择的强逻辑合理性不可能性定理”。与阿罗不可能性定理相比，一方面，笔者的不可能性定理更为明确，即只是针对多数投票规则的强逻辑合理性而言的，不涉及投票选择的伦理合理性和实用合理性；另一方面，笔者的不可能性定理不仅适合于多对象投票选择，也适合二对象投票选择。
阿罗在错误地“证明”二对象投票选择满足两条公理即满足条件1之后，进一步证明二对象投票选择也满足条件2至5，进而得出如下定理：
“定理1（对二备选对象的可能性定理）：若备选对象数为二，那么少数服从多数决策方法是一满足条件2－5并为每一组个体排序产生一社会排序的社会福利函数。”[27]
然而，出人意料的是，阿罗在完成这一证明之后，紧接着补充说：“上面对于少数服从多数决策方法满足条件2、4与5的证明是与只有两个备选对象的假设不相关的。另外，该方法对条件3的满足也是与备选对象函数无关的。”[28]这意味着，二对象投票选择与多对象投票选择的区别仅仅体现在传递性公理上，而与其他条件无关。其他条件不仅可以被二对象投票选择所满足，也可被多对象投票选择所满足。可见，所谓“二对象可能性定理”和“多对象不可能性定理”，说到底是前者可能满足传递律而后者不可能满足传递律。
正因为此，笔者把阿罗关于多对象的不可能性定理定位于强逻辑合理性的不可能性定理，并且把这种不可能性推广到二对象上。经笔者修改后的不可能性定理所揭示的是多数投票规则的非演绎闭包性（包括传递闭包性），而不应扩展到其他合理性上；应该说，这也是阿罗论证的应有之义。但是，由于阿罗没有区分强的和弱的逻辑合理性，以致他为了保留社会选择的强的逻辑合理性而以民主的伦理合理为代价，为此他把合理性问题扩展到全部五个条件上；他的不可能性定理强调多数投票规则不能同时满足全部五个条件，这一强调不是使不可能性定理更明确了，而是使它的涵义更模糊了。
阿罗不可能性定理是把二对象社会选择排除在外的。然而，笔者通过以上论证表明，阿罗关于二对象社会选择的传递性证明是错误的，二对象社会选择并不满足传递律因而不满足条件1，阿罗的定理1（即二对象可能性定理）是不成立的。正确的结论是：无论对于二备选对象还是多备选对象而言，基于多数投票规则的社会选择都不具有强的逻辑合理性；但这并未断言它们也不具有其他合理性。事实上，阿罗证明了多数投票规则（无论二对象还是多对象）都满足条件2－5，意味着所有多数投票规则都符合他所说的“价值判断”，即笔者所说的“伦理合理性”。
其实，在笔者看来，阿罗关于多数投票规则满足条件2－5的证明大可不必，因为那几个条件实际上是任何投票选择程序的前提或预设，不满足它们就不成其为真正的投票，关于投票的其他合理性也就无从谈起。笔者进而认为，关于多数投票规则的伦理合理性的讨论应当放在道德哲学和政治哲学的论域中，它关系到投票程序在道德上和政治上的正当性和可取性，而不应着重从逻辑的角度去分析。但是，阿罗的做法与此相反，以致后来的社会选择理论沿此方向越走越远，在近来兴起的判断聚合理论那里达到极至。判断聚合理论实际上也是把伦理合理性、实用合理性与逻辑合理性混在一起进行讨论并加以形式化，其结果是南辕北辙，远离其维护社会民主（非退化的聚合规则）的初衷。[29]
我们在第一节关于“投票悖论”的讨论中已经证明，包括传递律在内的逻辑合理性对于多数投票规则是无效的。阿罗本来也可从“投票悖论”得出这一结论，但他却没有，而是另外追加了五个合理性条件，据此展开他的论证。他试图证明多数投票规则不能同时满足那五个条件，这难免有画蛇添足之嫌。现在就让我们具体地审查一下阿罗关于多对象不可能性定理的证明。
首先需要指出，所谓“阿罗不可能性定理”是别人赋予的名称，而阿罗自己所起的名字是“一般可能性定理”。一般可能性定理是对“二对象可能性性定理”的延伸，但是这个延伸却是否定性的。按其否定性的内容称之为“不可能性定理”是恰当的，而阿罗的肯定性名称则是容易引起误会的。
阿罗在展开其不可能性定理的证明之前，引导性地加以说明：“在下面的证明中，先假定一给定的社会福利函数满足条件1－5，然后再证明该假设是矛盾的。”[30]对此，笔者提出的批评是：既然阿罗已经证明多对象的社会选择即社会福利函数满足条件2－5，为什么不把论证集中在条件1上，而是把五个条件放在一起讨论？这样做无疑增添了不必要的复杂性，甚至得出错误的结论。
阿罗通过比较复杂和烦琐的证明过程得出以下定理：
“定理2（一般可能性定理）：如果社会中的各成员至少能自由地对三个备选对象以任何方式进行排序，那么满足条件2与3且能满足公理Ⅰ与Ⅱ的社会排序的任一社会福利函数必定要么是强加的，要么就是独裁的。”[31]
阿罗紧接着解释说：“定理2表明：如果对个体排序的实质不作任何预先假设，那么没有任何表决方法能排斥掉第一章第1节所讨论过的投票悖论。”[32]这样，阿罗似乎把不可能性定理（定理2）又归结为投票悖论已经揭示的那种不可能性。本文第一节已经指出，导致投票悖论的症结在于把传递律不适当地用于投票选择，如果不禁止对传递律的这种用法，那么基于多数投票规则的投票表决就不可能避免投票悖论。当然，如果限制投票者的自由意志即违反自由原则，亦即阿罗所说的“对个体排序的实质”加以“预先假设”，那是有可能避免投票悖论的；但这种避免方法不属于逻辑的考虑，而是属于伦理的考虑，即把真正的投票变为虚假投票或被操纵的投票。这叫“玩弄权术”，应当追究“投票”组织者的道德责任甚至法律责任。
可见，阿罗的以上说明包含这样一层意思：如果投票程序是正常进行的，那么投票悖论不可避免。阿罗基于五个条件的复杂证明说白了就是证明这一论点。但是，这一论点比单纯的“投票悖论”增加什么实质性内容了吗？没有。正如有人证明中国象棋中的“马后炮”格局必置对方于死地，又有另一个人重新证明了一个观点：如果中国象棋是按照游戏规则正常进行的话，那么“马后炮”必置对方于死地。这后一个证明有价值吗？没有。因为“按照游戏规则正常进行”是讨论一切问题所预设的前提，是不言而喻的，否则就不是讨论那个“游戏”，而是讨论别的什么。
在笔者看来，阿罗本该直接从“投票悖论”引申出不可能性定理，无需把“自由原则”、“非独裁原则”和“公民主权原则”等扯进来，因为投票悖论所揭示的问题属于逻辑问题，而不属于伦理问题。阿罗实际上是把逻辑问题伦理化了，进而把简单问题复杂化了。阿罗的论证并不严格，不仅无关的东西扯入许多，而且逻辑上也有错误，这一点从他关于“二对象可能性性定理”的证明中可见一斑。对于他关于“一般可能性定理”（不可能性定理）的证明，我们在此只需从宏观思路上指出他画蛇添足以致误入歧途的弊病就足够了，而不必深入到其论证的细节；因为论证方向错了，即使论证细节没有错也无济于事，况且，其论证的细节并非没错。
六、结论和展望
综上所述，笔者认为，阿罗的“二对象可能性性定理”（定理1）及其证明是有所失误的，因为任何投票选择都不可能满足传递律，因而不可能满足阿罗的公理2，当然不可能满足包含公理2的条件1，而不论其备选对象的数目为何。阿罗的“一般可能性定理”（定理2，即“多对象不可能性定理”）虽然包含一些正确的内容，但却喧宾夺主，本末倒置，把强逻辑合理性的不可能性变成伦理合理性的不可能性，而且其论证过程也是迂回烦琐和误入歧途的。
对于阿罗不可能性定理及其论证，学界已有不少批评。如，肯普（M. C. Kemp）指出阿罗把传递性用于社会选择是错误的，并且从整体上否认阿罗理论的重要性。他评论道：“阿罗的条件是不合理的，并且其结论是无趣的。”[33]斯特拉斯尼克（S. Strasnick）认为阿罗的独立性条件是错误的，并称之为阿罗条件里的“罪犯”（villain）。[34]事实上，阿罗也承认，他对社会选择给出的五个条件可以简化或调整，其论证过程存在一些问题，并在该书第二版的最后一章（第八章），对此加以说明和修正。不过，在笔者看来，对于阿罗不可能性定理及其论证，以往的批评和阿罗本人的修正并不完全到位，为此笔者给以进一步的批评和澄清。
尽管如此，阿罗不可能性定理的启发意义是不可小看的，它凸显了基于多数投票规则的社会选择的某种局限性，暗示了投票民主并非健全民主制度的全部内容，必须对之加以补充或完善。阿罗不可能性定理的这层涵义是正确的，但他对此所做的论证基本上是多余的或欠妥的，因为其结论中的正确内涵从已有的“投票悖论”中可以直接地阐发出来。
由于投票选择缺乏共同的主体，笔者建议，对于由投票选择产生的社会排序加以非演绎闭包的条件限制，即禁止使用包括传递律在内的一切逻辑规则，以此保持弱的逻辑合理性。然而，这样做虽然可以避免投票悖论，但却使投票选择可能面临“无果困境”。无果困境涉及实用合理性，对之可以采取一些实用的办法加以解决。
由于逻辑推导不适合于投票结果，致使获选对象具有某种偶然性，未必是选民真正所期望的代表正义的对象，甚至会导致所谓的“多数人暴政”；从这个意义上我们说，投票选择可能会导致“非正义困境”。与无果困境相比，非正义困境的涵义更为深刻；前者只是由投票选择的非演绎闭包性直接派生的，而后者是由非演绎闭包性和伦理原则之间的不协调而产生的，对它的解决涉及伦理合理性。
阿罗关于社会选择的五个条件大多是关于伦理合理性的，如公民主权条件、非独裁条件、自由条件等，它所着重讨论的“不可能性”实际上是在满足强逻辑合理性的前提下伦理合理性的不可能性。就此而言，阿罗的结论是错误的，因为非正义困境并非不可能克服。对于投票选择来说，不可克服的是由传递性推理即演绎闭包所导致的逻辑悖论，这就是强逻辑合理性的不可能性，这个结论早已蕴涵在“投票悖论”之中。
阿罗的做法相当于，假定投票选举具有强逻辑合理性即满足公理1和公理2，那么它在伦理上是不可能成为合理的，因为它势必导致独裁或专制。这种做法的错误在于，把逻辑上的不可能性假定为可能的，然后把“不可能性”由逻辑的转化为伦理的。这不仅弱化了“投票悖论”已有的逻辑结论，而且把本来可能的事情说成是不可能的。试想，如果一种社会制度废除了基于多数投票规则的投票程序，它还有资格叫做“民主制度”吗？难道基于多数投票规则的合理的民主制度是不可能实现的吗？阿罗这位民主制度的倡导者却得出民主制度不可能成为合理的结论，这本身就是一个具有讽刺意味的悖论。这个悖论暗示阿罗的社会选择理论或政治哲学理论存在严重的缺陷，至少存在某种不协调性。
最后，笔者要指出，为解决诸如非正义困境的伦理合理性问题，必须使社会选择具有强的逻辑合理性，从而使社会选择适用于逻辑分析和逻辑推导，而不是仅仅停留在少数服从多数的偶然性上。前面提到，演绎闭包的（强的）逻辑合理性是针对同一思维主体而言的，而社会选择的“主体”是一群人；一群人可以成为同一个思维主体吗？这就是“集体理性”或“集体意向”问题的实质所在。事实上，阿罗已经注意到这个问题的极端重要性，他指出：“公民主权学说与集体理性（collective rationality）学说是矛盾的。”[35]能否把二者兼顾起来？他以“不可能性定理”给以否定的回答。刚才已经指出，阿罗的这个“不可能性定理”在很大程度上是张冠李戴的结果，因而是不可靠的。
笔者的方案是保留投票集体的弱（逻辑）合理性，在这个意义上把集体合理性与公民主权统一在多数投票规则上。但是，解决非正义困境所需要的强（逻辑）合理性如何在集体理性中得以保留？这是一个有待进一步研究的问题。问题的关键在于，除了投票集体以外是否还有其他不同性质的集体，这些不同性质的集体之间是什么关系？对此，笔者的倾向性回答是：投票集体是合作意向很弱的集体，另有一类是合作意向很强的集体，如一个球队或一个政府。[36]投票集体的弱合理性只适合非演绎闭包的场合如选举代理人，而后借助代理人的个体的强合理性来解决非正义困境等伦理合理性问题。这就是民主与集权的互补，集体的弱合理性与个体的强合理性的互补。事实上，当今民主国家基于多数投票规则的总统制或内阁制均属此类。
与之不同，由于包括阿罗理论以及判断聚合理论在内的主流社会选择理论未把逻辑合理性区分为强的和弱的，他们所说的逻辑合理性其实只是演绎闭包的强合理性，这使他们关注的问题成为：参与社会选择的集体可能成为一个思维主体吗？既然奉行多数投票规则的集体不是一个思维主体，那么作为集体的思维主体是什么，如何形成？借用佩蒂特和利斯特的说法，该问题成为：共同心智（common mind）[37]或组群能动者（group agency）[38]是可能的吗？他们倾向于肯定的回答并试图用这样的集体取代投票集体。笔者以为，这一努力方向是错误的，因为一个取消多数投票规则的制度不可避免地向独裁方向退化；对于一个真正的民主社会而言，多数投票规则虽然不是充分的，但却是必要的和不可取代的。
参考文献
[1] 阿罗：《社会选择与个人价值》，陈志武、崔之元译，成都：四川人民出版社，1987年，第3页。
[2] Arrow, K. J., Social Choice & Individual Values, second edition, New York: John Wiley & Sons, Inc.,1963.
[3] 阿马蒂亚·森：《集体选择与社会福利》，胡的的、胡毓达 译，上海科学技术出版社，2004年。
[4] List, C., ‘The theory of judgment aggregation: an introductory review’, Synthese (2012) 187, 179–207.
[5] 袁继红：《社会选择悖论与集体理性——从阿罗不可能性定理谈起》，《学术研究》2015年第8期。
[6] Kemp, M.C., “Arrow’s General Possibility Theorem”, in The Review of Economic Studies, Vol. 21, No. 3 (1953-1954).
[7] Strasnick, S., “The Problem of Social Choice: Arrow to Rawls”, in Philosophy and Public Affairs, Vol. 5, No. 3 (1976).
[8] Pettit, P., The Common Mind: An essay on Psychology, Society, and Politics, Oxford: Oxford University Press, 1993.
[9] List, C., & Pettit, P., Group Agency: The Possibility, Design, and Status of Corporate Agents, Oxford: Oxford University Press, 2011.
[10] 秦洁，陈晓平：《集体意向辨析》，《学术研究》2012年第6期。
注释：
[1] 阿罗：《社会选择与个人价值》，陈志武、崔之元译，成都：四川人民出版社，1987年，第3页。
[2] 参阅阿马蒂亚·森：《集体选择与社会福利》，胡的的、胡毓达 译，上海科学技术出版社，2004年，第176－181页。
[3] List, C., ‘The theory of judgment aggregation: an introductory review’, Synthese (2012) 187, p. 201.
[4] 参阅袁继红：《社会选择悖论与集体理性——从阿罗不可能性定理谈起》，《学术研究》2015年第8期。
[5] 阿罗：《社会选择与个人价值》，第4页。
[6] 阿罗：《社会选择与个人价值》，第45页。
[7] 参阅阿罗：《社会选择与个人价值》，第23页。
[8] 阿罗：《社会选择与个人价值》，第54页。
[9] 阿罗：《社会选择与个人价值》，第56页。
[10] 阿罗：《社会选择与个人价值》，第53页。
[11] 阿罗：《社会选择与个人价值》，第48页。
[12] 阿罗：《社会选择与个人价值》，第44页。
[13] 阿罗：《社会选择与个人价值》，第57页。
[14]阿罗：《社会选择与个人价值》，第50页。
[15]阿罗：《社会选择与个人价值》，第50－51页。
[16] 在判断聚合理论中，独立性条件被赋予更为精确的内容，即：对于议程X中的每一命题的集体判断仅仅依赖关于那个命题的个体判断，而不依赖关于其他命题的个体判断。请注意，这里并不要求其他命题是论域以外的无关对象，恰恰相反，它们必须是论域以内的。
[17]阿罗：《社会选择与个人价值》，第51页。
[18]阿罗：《社会选择与个人价值》，第51页。
[19] 判断聚合理论所说的“独立性条件”要求聚合规则独立于命题之间的逻辑关系或其他关系，主要涉及聚合规则的操作性问题，因而也可归入实用合理性。其“匿名条件”要求赋予所有个体以平等的权重，“普遍论域条件”要求不限制个体的选择自由，显然后两者属于伦理合理性。其“集体合理性条件”要求集体判断具有一致性和完全性，属于逻辑合理性。可见，判断聚合理论与阿罗的理论在本质上是大同小异的，它们都把多种合理性混为一谈。
[20] 阿罗：《社会选择与个人价值》，第46页。
[21] 阿罗：《社会选择与个人价值》，第87页。
[22] 参阅阿罗：《社会选择与个人价值》，第47－48页。
[23] 参阅阿罗：《社会选择与个人价值》，第88页。
[24] 阿罗：《社会选择与个人价值》，第24页。
[25] 阿罗：《社会选择与个人价值》，第88页。
[26] 这是袁继红教授就本文初稿提出的富有启发性的问题，在此致谢。
[27] 阿罗：《社会选择与个人价值》，第91页。
[28] 阿罗：《社会选择与个人价值》，第91页。
[29] 对判断聚合理论的更为详细的分析和评价详可参阅拙作《判断聚合理论的困境与出路》（待发）。
[30]阿罗：《社会选择与个人价值》，第97页。
[31]阿罗：《社会选择与个人价值》，第110页。
[32]阿罗：《社会选择与个人价值》，第110页。
[33] Kemp, M.C., “Arrow’s General Possibility Theorem”, in The Review of Economic Studies, Vol. 21, No. 3 (1953-1954), p. 240.
[34] Strasnick, S., “The Problem of Social Choice: Arrow to Rawls”, in Philosophy and Public Affairs, Vol. 5, No. 3 (1976), p. 245.
[35] 阿罗：《社会选择与个人价值》，第111页。
[36] 参阅秦洁，陈晓平：《集体意向辨析》，《学术研究》2012年第6期，第10－16页。
[37] 参阅Pettit, P., The Common Mind: An essay on Psychology, Society, and Politics, Oxford: Oxford University Press, 1993.
[38] 参阅List, C., & Pettit, P., Group Agency: The Possibility, Design, and Status of Corporate Agents, Oxford: Oxford University Press, 2011.
