《创新话旧》第3章（2）

3．2弱重力和强布朗耦合碰并

3．2．1 一个奇异扰动问题

对分布函数在皮克列特数小于1时的一级近似解，即把弱重力完全忽略掉后，纯布朗碰并率的计算公式，最早由斯莫鲁霍夫斯基得到。但在1956年，前苏联学者德加金（Derjaguin）发现，考虑双球流体动力相互作用以后，两粒子之相对布朗扩散系数就不可能维持常数，它会随距离之减少而不断降低，直到两粒子达到碰撞面，粒子间隙降低到0，此时缝隙间粘性流体膜的阻力就会按低雷诺数流体力学的规律急速升为无穷大，从而使两粒子的相对布朗扩散系数衰减到0。也就是说在碰撞面上的粒子布朗扩散通量为0。 单纯的布朗运动由于其能量有界，不足以克服趋于无穷的粘性流体膜阻力，因而不能靠自身的能量来实现布朗碰并。1967年德加金进一步发现，为克服这个趋于无穷的阻力，实现布朗碰并，只有引入范德瓦尔斯分子引力势才行。因为后者会以更快的速度趋于无穷。于是德加金得到了新的 对分布一级近似解，并进而得到新的布朗碰并率计算公式，它比斯莫鲁霍夫斯基的多了一个Cj 因子，我们管它叫势力订正因子，分子引力势越大，则Cj 越大，布朗碰并率越大。分子引力势越小，则Cj 越小，布朗碰并率越小。若两粒子为硬粒子，分子引力势为0，则Cj 也为0，布朗碰并率也降为0。即没有分子引力势存在时，单纯的布朗运动，不可能产生布朗碰并。

我对德加金1967年的对分布一级近似解做了分析，发现它的结构虽然比较复杂，但在远场，却仍以距离的-1次方速度，趋于它的极限值1。在此条件下，粒子的对流输送项就以距离的-2次方速度趋于0。而布朗输送项却以-3次方更快的速度趋于0。于是前者对后者的比值就等于皮克列特数和距离之积。这说明当距离不大时，比值确小于1，因为皮克列特数远小于1 。但不管皮克列特数是如何之小，只要它不是0，就会有一临界距离存在，在这距离上，比值升为1，对流项和布朗项相等，临界距离反比于皮克列特数，超过这一临界距离以后，比值就会大于1，粒子的对流输送项反而大于布朗输送项了。这和德加金之一级近似解的前提相矛盾。于是当距离超过临界距离时（外域），应该另起炉灶，在外域建立起外域方程。通过以皮克列特数收缩坐标方法，使原来在对流输送项中出现的微扰参数消失，从而在一级近似中，外域方程中的对流输送项可以保持下来，可以正确地反映外域解的特点。因此本问题是一个奇异扰动问题，应用匹配渐进展开法处理。原方程适用于内域叫内方程，得到的解叫内展式。坐标收缩后的方程叫外方程，适用于外域，得到的解叫外展式，使内外两展式相互匹配以补足内外域之间所缺少的边界条件，就得到了问题的完整解答。从而可以建立起弱重力与强布朗耦合碰并的统计理论。

3．2．2 王永光的贡献

王永光是我到南开大学以后1985年收到的第一个研究生，他人很聪明，很用功，思想活跃，有很强的创新能力，同时数学天赋也很高。用匹配渐近展开法求解这内外域两套方程的任务就交给了他。开始我向他推荐了巴切勒在1979年传质问题中用过的方法，这方法更多地依靠物理上的直观，并不是严格的匹配渐近展开法，然而它却可较为容易地找到答案。但是很快我们发现这问题美国学者福格勒（Fogler）已经在1984年做过，他得到这问题的两项渐近展开式，而用巴切勒的物理直观方法，也只能得到两项渐近展式。这样，福格勒无形之中向我们提出了挑战，除非我们能够得到比他更精确的三项或四项展式，否则这工作就只好放弃了。 在这危机面前，王永光显示出他非比一般的创新能力和数学天赋。他经过了一段较长时间的艰苦努力，终于战胜了福格勒的无形挑战，得到这个问题的四项展式，比福格勒的精确得多，而且他还发现了福格勒论文中的一个错误。原来两粒子之间的范德瓦尔斯分子引力势，大家都采用1937年的哈马克（Hamaker ）公式，这公式前两项比较简单，基本上是距离的-2次方衰减，第三项却比较复杂，是距离的二次多项式式分式，然后再取对数。福格勒没有仔细分析这一项，而简单地从前两项推断出范德瓦尔斯分子引力在远场按距离的-3次方衰减。王永光仔细分析第三项以后，发现它们不是0，而是可以把前两项的-3次项消掉，剩下的是按距离的-7次方衰减。王永光的发现有其充分的物理根据，因为从远场看一个球时，这个球应就是一点分子，其分子引力衰减规律就应该和原来的分子引力衰减规律相同。王永光的分析还证明，福格勒的这一错误并不会影响到他的两项展式，但如果福格勒也求到四项展式的话，那他的第三项和第四项就必然都错。因为这时范德瓦尔斯分子引力的远场公式就要起作用了。王永光之所以能克服困难求到第四项，主要原因是他对范戴克的《流体力学中的微扰方法》一书学得很透彻，能够掌握住匹配渐近展开法的精髓，对那方法所含有的一套相当复杂的逐级逼近程序，已经能达到运用自如的程度。第二个原因是他发现了一篇埃克里沃斯在1962年发表的低皮克列特数下传质的论文，那论文也用奇异扰动中的匹配渐近展开法求出了传质的四项展式。王永光发现埃克里沃斯1962年的工作里所包含的外域方程，在数学上与我们的碰并方程十分相似。因此可以借鉴他 1962年的方法和结果，于是他就能比较快地求得了第三项展式。虽然这第三项解的形式已相当复杂了，再以此为基础去求第四项似乎不大可能。因为这方法每前进一步，方程的非齐次项就会像滚雪球一样，越滚越大，求解难度也越来越高。其难度不是线性地增加，而是非线性地急速增加。所以乍一看时第四项似乎已不可能再求出其解析解。然而王永光所求出的第三项展式含有对数幂，从严格匹配渐近展开法我们知道当出现对数幂时，说明这一项还没有真正完成，只有求到下一项不含对数幂了，这才算得到完整的解答。王永光开始时表示为难，第四项所面对的方程实在太复杂了，他已无能为力。对此，我给他打气，鼓励他再接再厉，拿下这第四项，我坚持要求他一定攻克这一难关，否则仍然会前功尽弃。他接受了我的鼓励和对他的要求，又过了一段时间，他终于攻克这一个难关，取得了最后的胜利。福格勒的无形挑战就这样被克服。当然他也付出了代价，开了很多夜车。当他交给我他运算的一叠草稿纸，以让我审查时，我在那叠稿纸的每一页上都闻到了很浓的香烟味道，这是一段相当艰苦的战斗啊，显然他开了不少夜车。在完成他这篇学位论文过程中，王永光表现出非常突出的创造性，虽然他当时还是一个硕士生，但实际上他这篇论文已达到博士论文水平，而且是一篇优秀的博士论文。所以，我决定这篇论文的第一作者应署上他的名字，而我应退居第二位，并决定把这篇论文送往巴切勒创办并主编的，世界第一流的流体力学刊物《JFM》（《流体力学杂志(J.Fluid Mech.) 》的缩写）上去发表。

3．2．3 发表在巴切勒的《JFM》 上

巴切勒一生中有两本书、两个事业，两个理论在世界上产生了很大影响。两个理论就是前面第一章中已经讲过的单分散与多分散的沉降理论，后面第四章还要讲到它们。两本书就是一本《均匀各向同性湍流理论》，后面第七章中还要提到它。另一本就是《流体力学导论》我们在第一章中已经讲到。这两本书分别确立了他在湍流研究和流体力学事业中的地位。两个事业其一就是剑桥大学应用数学和理论物理系，它的前身是剑桥著名的凯文迪什实验室中的理论组。50年代巴切勒成功地把它分离出来，组建成系，是这个系的创始人和系主任一直到他退休。另一事业就是这里将要介绍的刊物 《JFM》 。这刊物也是巴切勒在50年代创办，并且任主编，一直到他退休。是巴切勒把这刊物从无到有一手办到现在已是流体力学中世界第一流的刊物，在国际上享有崇高的声誉。我在剑桥时，曾听到一位来自中国科学院力学所的朋友讲起的一个故事。是关于美国的一位著名流体力学家朗（ Long）的故事。这人是巴切勒的朋友，当年在创办《JFM》之初，曾得到朗的帮助。后来朗在流体力学上有一个创新理论成果，这个理论在国际上已经有相当大的影响，一些国际会议请朗到会就他这个理论向大会做特邀报告，但是朗还不甘心，他一定要把这个理论拿到巴切勒的《JFM》上发表才算数。没想到《JFM》 的审稿人审出了这个理论中存在一些问题而没有通过。朗向《JFM》投过几次，都被《JFM》退了回来，因为那些问题仍没有解决。到最后，有人做成了一个实验，实验数据与朗 的理论预测一致。朗十分高兴，就把这实验写进了他的论文以证明他的理论正确，没想到巴切勒这次直接给朗去了电话，在电话中巴切勒告诉朗这一次稿件较前确有很大进步，可以考虑在《JFM》上发表。不过 巴切勒告诉朗，要想在《JFM》上发表，稿件还得做修改，那就是要把稿件中的理论部分删掉，因为该理论中存在的问题，在稿件中仍然没有解决。这就把朗气得要命，放下电话后，他大骂巴切勒不够朋友。从这故事中可见《JFM》在国际流体力学界中影响之大，地位之高。要想在《JFM》发表一篇论文多么不易。 我感到巴切勒不是不够朋友，从第一章的“第四境界”看，他对自己要求更为严格。无论对人还是对己，他都是一位铁面无私的“判官” ，为了维护科学的纯洁性我们需要这样铁面无私的“判官”。

由于王永光的工作已经表现出相当高的流体力学和数学水平。我决定把他的论文送交《JFM》去审查，看看有没有达到《JFM》的高度，能不能在《JFM》上发表。果然很不容易，巴切勒先是不大相信，在范德瓦尔斯分子引力势的远场表达式上福格勒会出错。当把证明写给他看后，他又问会不会影响到已发表的福格勒两项展式。当我们证明这不会影响到他的两项展式，但对更高的三阶乃至四阶展式肯定会有影响。巴切勒于是就把问题转向了我们的论文本身。他审查得很仔细，提出了不少问题，以致我们的论文修改了三遍直到1990年才发表在《JFM》上。距离1988 年王永光结束他的学位论文则又过了两年。然而这两年的时间花得值，它使我们的工作又提高了不少。更重要的是，这是我们这些非流体力学出身的人在我们自己的国土上，第一次凭借自己的力量攀登上国际流体力学的《JFM》高峰。 想到这里心中确感十分高兴。至于王永光本人，1988年毕业后则转到中国科学院大气物理所工作。两年后，1990年埃克里沃斯接受了他攻读博士学位申请，到美国发展去了。当时埃克里沃斯已从斯坦福大学化学工程系系主任职位上，转到纽约任纽约的列维奇物理化学流体力学研究所所长。而王永光也就追随他去了纽约。

3．2．4 检验弗瑞德兰德假设

我们从严格的统计理论出发所得到的四项展式，和1964年弗瑞德兰德与斯维夫特的可加性假设有很大不同。从 弗瑞德兰德的可加性假设出发只能得到碰并率的二项展式，不可能得到四项。更重要的是，就我们四项展式的前两项和弗瑞德兰德 两项展式比较，它们之间仍有很大不同。第一项相同都是纯布朗碰并率，第二项则是弱重力对纯布朗碰并修正的主导项。这项都是正的，都和皮克列特数的一次方成正比，然而比例系数却完全相反。我们的系数是Cj, 即布朗碰并中的势力订正因子。因子Cj 越大，修正越大。而弗瑞德兰德的第二项之系数却和Cj 成反比，因子Cj 越大，修正越小。问题在于当出现弱的重力对流以后，按照严格的统计理论奇异扰动法分析，弱重力不能在全部区域中出现，特别是在内域，由于皮克列特数小于1，在内域它仍应被忽略，只是由于弱重力输送项衰减得较之布朗输送项要慢，所以当过了临界距离以后，弱重力对流输送项才可以而且仅仅 可以在外域起作用。因此，它不可能像可加性假设所设想的那样独立地在内域使粒子和参考粒子产生重力碰并，弱重力的作用仅仅在于外域，它会使球形的j粒子从无穷远处浓度不改变地输送到临界距离，从而加大了内域j粒子的浓度梯度，在内域则仍然是布朗扩散输送起作用，但此时它不再按无重力对流时那样地输送j粒子，而是按已被弱重力对流所加大了的浓度梯度来输送，总的j粒子和i粒子碰并率之所以能增加，完全是由于布朗输送本身的加强，而不是另外又增加了重力碰并。因此，这项修正必然会因布朗碰并的势力订正因子Cj之加强而增加，决不会与此相反。弗瑞德兰德可加性假设在 此例中被证明没有理论根据。

1977年加拿大著名的胶体科学家S.G.梅森(S.G.Mason)和他的合作者范德文对低皮克列特数下，弱剪切流场和强布朗运动耦合碰并做了研究，他们同样从严格的统计理论奇异扰动法进行分析，所得公式与弗瑞德兰德 可加性假设甚至有规律上的不同，第二项弱剪切流场对布朗碰并修正的主导项和皮克列特数的1/2 次方成正比，而不是像可加性假设那样和皮克列特数的1次方成正比。问题在于此时临界距离和皮克列特数的1/2 次方成反比，而不再和距离的1次方成反比。所以才和可加性假设有规律上的不同。梅森因而同时就纠正了他自己曾在1959年，较之弗瑞德兰德早5年做出的可加性假设的错误。 在他1977年的论文中他因此而声明，可加性假设没有理论根据。为要突破斯莫鲁霍夫斯基两种极限碰并的局限，建立起耦合碰并理论，只有从严格的统计理论出发，从求解完整的粒子对统计对分布方程入手。