《创新话旧》第2章（3）

2．3 悬浮粒子对流碰并统计理论的诞生

2．3．1悬浮体力学与云物理的结合

本章开头讲过，悬浮粒子对流碰并统计理论是我到剑桥后的第一个工作。但后来由于半道又插进第二个沉降工作，所以这工作直到我回国以后才完成。出乎我的意料，当我同意回到云物理，以向巴切勒的悬浮体力学靠拢时，他就先向我请教起关于云物理的一些ABC问题来。巴切勒是在国际上享有盛誉的大权威，而我还是个不知名的小人物，真不知道他还具有这样“不耻下问”的精神。我于是尽我所知向他介绍了云物理的ABC，并讲述了云滴增长的两个基本过程。一个是凝结增长过程，另一个是重力碰并增长过程。前者主要作用在云滴比较小，大致小于半径20微米，后者主要作用在比较大主要在大于半径30微米范围，两者之中有一个著名的生长沟。现有的理论很难跨越过去，从而无法解释对流云的阵性降水问题。巴切勒对凝结过程没有表现出兴趣。他感兴趣的是重力碰并增长过程，而这是他从来没有做过的。他当时问我，云物理在重力碰并研究中有没有考虑过布朗运动。我说没有，我告诉他，云物理中是使用轨迹法研究重力碰并，当然就不可能考虑布朗运动。他断然说不行。这是他多年来从事悬浮体力学研究得出的第一反映。因为在他看来，云雾也是一个悬浮体，而对悬浮体力学的研究，已经证明随机的布朗运动是悬浮粒子运动的基本特征。由此可知，在云物理中同样也不应使用在重力碰并中一贯采用的轨迹分析法，这是第一点。第二点，按照流体力学和悬浮体力学的经验，即使在高皮克列特数条件下，也可能存在一个边界层。 在边界层中，布朗运动有可能不可忽略，这会对重力碰并产生直接影响。为研究边界层的影响，也必须使用粒子对的统计对分布方程方法。这是在巴切勒的悬浮体力学和我的云物理相结合后，他马上产生的新想法。正是在这种相互切磋中产生了新的灵感火花。看来他在“不耻下问”的过程中，也没有忘记一个理论工作者的基本职责──“西风凋碧树”。而且作为一个“凋碧树”的大家，他能一下子“凋”到斯莫鲁霍夫斯基轨迹法的核心问题，尽管他从来没有做过碰并工作。后来的研究表明，当时巴切勒的第二点想法不对，因为在边界层里，除了布朗扩散项以外，还有范德瓦尔斯分子引力项，这一项是产生碰并的主要物理因子。没有它就不可能有碰并发生。但有了它，布朗扩散项就只好忽略了。因为它是一个趋于0的小量，而范德瓦尔斯分子引力项却是趋于无穷大的量。尽管如此，巴切勒的第一点想法却无可辩驳，被一再证明正确。显示出他作为流体力学一代大师的英明。

后来我才知道，这种虚心向内行人请教，并在相互切磋中抓住新问题以开展一项新工作，是他们推动科研工作的主要方法。回国后，当我继续开展在剑桥还没有作完的碰并工作时，巴切勒还在伦敦组织过一次碰并问题的国际会议，这仍然是为了我们的工作。这种方法与我以前在中国科学院经历过的不同。那时，我们每当要开展一项新工作时，导师总要组织大家（包括导师自己进行一次学习。但在剑桥，我没有看到巴切勒学云物理，也没有看到他学碰并文献；他也没有要我学悬浮体力学及碰并文献。当然在开始时，他曾要我学他的1967年发表的《流体力学导论》并给了我两篇他在沉降和传质上的文献。他和我的交谈，以及他在伦敦组织的碰并会议，实际上，就是他学习碰并并推动碰并工作的方法。他们的图书资料室里经常很少见到人，而同事之间的讨论问题，却时时处处都在。他们的学术交流真是做到家了，除了学术会议和报告会以外，还有饮茶室中的交流，办公室内的讨论，以及个人之间随时随地的讨论。

2．3．2 初次的成功

想法既已确定，下面就应由我来解对分布方程以实现这想法。 到剑桥以前，我从来没有听说过对分布方程，不知其为何物，更不用说解这个方程了。对此我不免有些胆怯。巴切勒这时 拍拍我的肩膀对我说，不用怕。他鼓励我大胆地干，并表示他会做我的后盾。这使我有了勇气，走上了这条当时对我还是陌生的，求解高皮克列特数下，不稳定系统中悬浮粒子统计对分布方程的征途。

开始的工作还不算太难。经过了一段摸索，我终于克服了求解对分布方程外域解的困难。使用流体力学中的微扰方法， 在高皮克列特数下，在外域可把布朗扩散项完全忽略掉，形成了一个纯对流输送方程。经过努力，我得到了该方程的解析解。 我很高兴这是我到剑桥后的第一次成功。时值巴切勒1980年第一次访华。等他回剑桥后，我向他汇报了此事，他也很高兴，说这个解很重要，很有意义。后来我才知道，这主要是指我这个解突破了他十年来想把单分散沉降理论发展成多分散沉降理论，而始终未能解决的难题，即求稀释悬浮体中统计对分布的难题，现在这个难题被我无意中解决了，在这个解的基础上，加上他的第二次近似──置边界层问题于不顾，他就可以完成他的十年来未完成的多分散沉降理论的夙愿，至少是完成了第一步。有关这一问题，我们还将在后面第四章中详谈。

但是对我的碰并问题而言，我却不能采用他的第二次近似，置边界层问题于不顾。因为计算碰并率时的积分，是一个球面积分，积分面恰恰在两个粒子相撞时的碰撞面上，这正是边界层的底。显然不解决边界层问题，就无法计算出碰并率。为此，我还得继续前进，去建立边界层方程并求出边界层解。然而在这个问题上，我遇到了一个更大的困难，那就是内外域解相互匹配问题。

2．3．3内外域解匹配的难题

在上节中找到的对分布外域解析解，它的内极限是奇点，趋于无穷大。当时我还只会按以前学过的，老式的卡尔曼-波尔豪森（Kármán-Pohlhausen）的边界层衔接方法来和边界层解衔接。按照这个方法，在边界层顶衔接处就必然会发生解不光滑的问题。对分布函数的函数值本身虽然连续，但函数的各阶导数却不连续，在边界层顶部产生突然转折现象。对此，巴切勒拒绝接受。我很苦恼，后来有一次在饮茶室休息时，剑桥的朋友们在闲谈中了解到我当时的苦恼，于是他们向我推荐了美国学者范戴克的著作《流体力学中的微扰方法》一书。我很快从书店买到这本书的1975 年修订版。学习以后才知道,在边界层求解中,卡尔曼-波尔豪森的内外域衔接方法现在已经过时,目前人们经常使用的是一个更好的方法，这就是内外域匹配渐近展开法。按照这个方法的原理，要求外域解的内极限和内域解的外极限必须相等。只有在这个条件下,内外域解匹配起来后才会光滑，不会产生突然转折现象。但是如何才能使我的问题满足这个匹配原理呢？显然我不能直接用对分布函数来衔接了，因为它的外域解的内极限是无穷大，无法满足这个匹配原理。经过许多天的紧张探索,正如第一章中讲到的第三境界一样,经历了“众里寻他千百度”以后，在一次夜深人静，人已上床准备入睡而又无法使思维活动停下来。相反，思维活动却是越来越活跃，越来越清晰，突然就找到了答案。既然，我不能直接探寻对分布的解。那麽，我可以通过一个变换来解决匹配上的困难。亦即第一章中谈过的j变换，j的定义是对分布和它的外域解的比，这个比在外域显然恒等于1，它的内极限自然也是1，而不再是原来外域解的内极限──无穷大。按照这个思路，在内域，我不能再建立对分布的边界层方程而应转而建立变换j的边界层方程，同时令j的边界层解的外极限为1，这样导出的j的边界层解就自然而然地和j的外域解的内极限相等，从而可以满足匹配渐近展开法的匹配原理。我马上把这个新想法报告给巴切勒。这一次他终于点头了，称赞地说“good idea!”（是个好想法！）于是，内外域匹配上的难题就通过引进j变换而解决。

2．3．4 MLB方法的成功应用

以上的工作在剑桥完成。由于后来在巴切勒的建议下，我参加了他的沉降工作，因此碰并工作暂停。直到我1982年2月回国，才重新启动。这时巴切勒和我就分散在剑桥和合肥两地，通过通信继续合作。上节谈到我已建立起对分布变换j的边界层方程，这方程仍然是一个偏微分方程，根据流体力学和悬浮体力学中传质问题上的MLB方法(即米塞斯-列维奇-巴切勒（Mises-Levich-Batchelor）方法)有可能把边界层的偏微分方程转化为一个常微分方程，从而得到问题的解析解。这个方法又包括了三次变换：流函数y变换，切向自变量t变换以及相似变换。这方法原来是米塞斯在1923年和列维奇在1962年提出的，后来巴切勒在他1979年发表的传质问题论文中，对此方法又有新的发展，故称为MLB方法。 初看起来这方法不能应用到我的碰并问题，因为该方法的第一次变换是流函数y变换。流体力学告诉我们，只有速度场是管量场，即它的散度为0时，才有流函数y存在。这是应用MLB方法的大前提，而这一前提在碰并问题之中并不存在，因为两个粒子间由重力造成的相对运动速度场，并不是一个管量场，也就是说，它的散度不为0。所以从这一点看，这方法不能应用于我的碰并问题中。然而后来，巴切勒在一次来信中讲到，他已克服了这个难题，找到了应用MLB方法的钥匙。原来，他料定对粒子间相对重力运动速度场乘以某一个函数h(q)后，速度场就可以由原来的非管量场变成管量场，这里q是极角。他用反推法找到这一函数因子h(q)的具体形式。他先令速度场乘以h(q)后的散度为0，由此得到一个常微分方程。解这个方程就找到了待求的h(q)。此后就一直使用被h(q)乘过的新的速度场，于是现在我们就可使用MLB方法顺利地把边界层的偏微分方程转化为简单的常微分方程，并得到一个很漂亮的解析解。对此，我不能不叹服巴切勒数理水平之高超。他不但是善于发现问题的高手，而且也是一位善于解决问题的能人。

2．3．5 战胜戴维斯（Davis） 的挑战

然而我的对流碰并新理论还没有最后完成，前面在第一章里第四境界──“西风再凋碧树”中已经谈到过。这理论碰到的最后一次挑战来自当时美国的一位年轻学者戴维斯，此人是在我离开剑桥后才从美国到剑桥来的。他当时接受了巴切勒的建议，用斯莫鲁霍夫斯基的轨迹分析法，检验一下我们这个新的统计理论，同时还要研究一下粒子惯性对重力碰并的影响，以此作为他的博士后论文。果然让他找到了我们新理论中的一个错误。而且他证明给巴切勒看，这错误是致命而且无法挽救，只有放弃。巴切勒接受了他的意见，建议我也放弃这一工作，这工作就被戴维斯一下子枪毙掉了。巴切勒这封信是在他上次解决流函数难题的那封来信之后，过了几个月才来的。看来，让他接受戴维斯的意见也不那麽容易。巴切勒在这封来信中接着说，放弃这个工作他也很难受，因为他也为此化费了不少心血。但是他接着说，现在他也没有别的办法，既然是无可挽回的致命错误，那只有放弃。接到这封信后我大吃一惊。我好像迎头挨了一闷棍，被人打倒在地。然而我没有服输，而是起而应战。我想，巴切勒是在国际上久负盛誉的大人物，成果累累，放弃一个成果，对他可能不算甚麽。然而我却不能，我必须奋起应对来自戴维斯的挑战。经过几天几夜的努力，我终于找到了一个新方案，它可以纠正我们那个被戴维斯检查出来的错误。我把这个新方案报告给了巴切勒，但是他不接受。他现在有了新的想法，就很难再改变。直到1983年9月，他应邀在北京举行的亚洲第二届流体力学代表大会上，为大会作特邀报告。我们在北京再次见面了，我向他报告了我得到的最新数据。他仍然不信，不过他表示，当晚他会再仔细地审查一下我的最新数据。这天晚上，我也暗暗地下了决心。准备第二天万一他仍然不肯接受我的新方案，我就向他摊牌。在这种情况下，我就会向他提出要求，要求他同意由我一个人来发表。因为我相信这方案正确。不料，第二天他终于改变了他的想法，接受了我的新方案。这个新方案终于得到巴切勒的认可，并于次年1984年发表在中文版的《中国科学》上，1985年又发表在英文版的《中国科学》上。悬浮粒子对流碰并中的一个新理论，就这样诞生了。那么，戴维斯向我发出的挑战究竟是什么？我又如何应对他的挑战呢？

原来，为要应用MLB方法把边界层方程从偏微分方程变为常微分方程，需要进行一次相似变换。在相似变换中，人们要把切向坐标变量和法向坐标变量组合成一个新的相似变量，代入原方程后，原来的偏微分方程，就有可能转化为以此相似变量为变数的常微分方程。这种变换不是无条件的，其条件就是要求粒子间重力相对速度的切向分量，在整个边界层中应该是常数。然而实际上它并不是个常数，它是随高度的降低而不断地减少，是一个高度的对数的二次多项式分式，很复杂。这当然阻碍我们在本问题上应用MLB方法中的相似变换。对此，我们采取了又一假定，即假定在整个边界层中它可以取边界层底的数值来近似。由于边界层很薄，我们原以为可以做这个近似。但戴维斯的计算表明，当人们对切向速度分量取它原来那个复杂的对数的二次多项式分式时，计算结果与我们这个近似有相当大的误差。误差之大超出了许可范围，不能采用。而如果我们不做这个常数近似，就无法应用MLB方法中的相似变换于本问题。也就无法得到那个漂亮的解析解，而只能转而求数值解。而数值解却是巴切勒这位剑桥学派的代表人物所无法接受的。结论就只能是放弃这工作，这就是来自戴维斯的挑战。巴切勒服了，但是我没有服。我在合肥经过几天几夜的努力，仔细地检查并分析了这个切向速度分量的对数二次多项式分式的变化规律，最后发现这基本上仍和简单的对数变化规律相似。粒子进入边界层后，它的切向速度确实随高度降低而减少，但减少的速率非常慢，只是到接近边界层底时，它才迅速地降到边界层底那个极限值。正因为如此，我们原来以边界层底的切向速度分量来近似整个边界层的情况，当然就会带来很大误差。然而正是因为有这个发现，我才能提出一个新方案来解决 戴维斯给我们出的难题。那就是用切向速度分量在边界层顶的那个值为常数，来近似整个边界层的数值，这符合对数变化的特点，应该不会产生很大误差。同时又使我们仍然能应用MLB方法，化边界层偏微分方程为常微分方程并进而得到问题的解析解。按这新方案计算出的数据表明，这个设想很对。最后巴切勒也接受了它，戴维斯也放弃了他的挑战，一个对流碰并的新理论才得以诞生。

2．3．6 新理论的意义、检验和影响

新理论第一次在对流碰并领域得到了一个解析解，从这解析解中我们才能揭示出对流碰并真实的物理：当有对流碰并发生时，在参考粒子的表面会存在一个由范德瓦尔斯分子引力控制的边界层。对流碰并捕获系数新的解析公式说明，捕获系数和粒子在边界层顶的浓度成正比，也就是说，先由对流运动把粒子从无穷远处输送到边界层顶，然后其中的一部分在范德瓦尔斯分子引力势作用下，为参考粒子所捕获。很显然， 斯莫鲁霍夫斯基当年提出的“撞击模型”没有反映出过程的真实物理。新理论的第二个意义在于，它把统计理论第一次伸展到确定论型的对流碰并中来，也就是说，统计理论不但能处理含随机的布朗运动的碰并问题，而且也能处理完全不含一点点布朗运动的对流碰并问题。而这个领域原来是斯莫鲁霍夫斯基的轨迹分析法所独占的。斯莫鲁霍夫斯基的轨迹分析法，在悬浮粒子的对流碰并领域里统治了将近七十年，尽管它具有如前所述的缺点，防碍了人们对耦合碰并的研究。这障碍现在终于被我们打破了。这就为下一章使用统计理论方法来建立重力对流和布朗运动耦合碰并理论打下了坚实的理论基础。统计理论可以处理皮克列特数从无穷大到0全部范围的碰并问题，从纯确定型的对流碰并经过耦合碰并一直到纯概率论型的布朗碰并。而这是原来斯莫鲁霍夫斯基的轨迹分析法所无能为力的。

新理论当然还需要进行检验，但这个检验已由巴切勒自己做完了。完全是由于他有很强烈的“西风再凋碧树”的精神。对于重力碰并情况，如上所述，是由他请来的戴维斯做好。当我们把新方案展示给戴维斯后，他对这一方案也表示了肯定，并且在他后来发表的论文中引用了我们的新数据。在他的论文中他承认我们的新理论，对于重力碰并情况和他用轨迹分析法算得的一致。我们的理论也曾应用到由背景流场引起的对流碰并，如轴对称纯变形流场对流碰并。这个例子曾由美国著名胶体科学家肖瓦尔特和他的合作者泽西奈尔（Zeichner）在1977年使用轨迹分析法计算过。他们的数据以图形式发表，直接从图上读取数据则太粗糙。为了能进行精确的检验，巴切勒打电话给肖瓦尔特，请他送几个原始的精确数据过来。肖瓦尔特答应了巴切勒的请求，并送了两个有代表性的原始数据给我们。 于是我们很高兴地看到，我们的统计理论也和肖瓦尔特的轨迹分析法的一致。而且符合得比重力碰并还要好。1984年我到南开大学后，曾指导过天津大学力学系一位研究生林红的学位论文。我建议她的题目，就是把边界层方程中的切向速度分量，不再使用常数近似，而是使用它的本来面目—高度的对数二次多项式分式，进行数值计算，求数值解。以进一步检验我们那个以边界层顶的切向速度分量来近似整个边界层情况的可靠性。林红的计算表明我们那个近似所得到的解析解与她的数值解一致。以上三次检验说明了新的理论的正确，能够以它为出发点来进一步研究悬浮粒子耦合碰并问题，特别是高皮克列特数下的强对流与弱布朗耦合碰并问题。

新理论发表后，得到有关领域的同行关注，为大家所引用。特别值得提一下的是由于这理论阐明了随机事件和必然事件并非相互对立，而是可以相互转化，在一定条件下确定论型问题也可用概率论型的方法来处理。因此它也引起国际统计物理界的兴趣。我们曾在《SCI》检索中发现，在国际统计物理方面的杂志也有人引用过我们这个对流碰并的的统计理论。