《创新话旧》第1章（6）

1.2.2. 巴切勒的经验━把物理思想注入于数学之中

这是巴切勒几十年来从事自然科学理论研究的经验结晶。 在自然科学的理论研究中，常会把问题归结为建立一个或几个微分方程，然后求解。表面上看这是一个数学问题。但是，一般而言，这些方程都是十分复杂十分艰难。数学家并没有为物理学家准备好求解方程万能的灵丹妙药。所以物理学家就常常需要按照自己问题的特点，把物理思想注入于数学之中，才能找到求解方程的康庄大道。这包括各种物理模型的建立，各种简化、近似方案的提出，以及各种变换的引入等等。这些办法无不依靠着很强的物理上的洞察力，都是以很强的物理思想为基础。以下将分别介绍它们。

1．2．2．1用物理模型化解数学难点

改革开放以前，我的研究工作主要和湍流有关，特别是和柯尔莫果洛夫的湍流理论有关。 柯尔莫果洛夫湍流微结构理论 ，建立在他的湍流物理模型基础上，他之所以能提出这样一个湍流模型， 是靠了他对粘性流体运动物理上的洞察力。由于湍流是一种雷诺数(Reynolds Number)特别高的运动，根据这一特点柯尔莫果洛夫就建立了一个湍能输送的物理模型，从中得到一个稳定的物理量──湍能耗散率e。以此为相似判据，使用一种简单的量纲分析法（大家知道，量纲分析法使用的是一种初等数学技巧）。柯尔莫果洛夫就能避开在湍流问题研究中，本来是无法回避的，求解非线性时空四维的，纳维-斯托克斯（Navier-Stokes）偏微分方程的严重困难。相当容易地，又是历史上第一次地得到了他的湍流结构函数2/3定律，和一维湍谱的-5/3定律。虽然后来我们的实验证明柯尔莫果洛夫的湍流物理模型与湍流的不连续性有矛盾，需要重新探索。柯尔莫果洛夫的湍流物理模型究竟是怎麽一回事，我们的观测又怎样揭示出它的问题，我们将在本书第七章中加以讲述。尽管如此，该理论对湍流微结构的预测还是正确，符合实验测量。而且到现在为止，还没有人能够创造出一个新理论来取代柯尔莫果洛夫的湍流理论。因此，他这种依靠深刻的物理洞察力，建立起一个简单的湍流物理模型，从而能化解掉求解纳维-斯托克斯方程的严重数学困难， 使问题得到一个初步合理的解决。这种物理上极强的洞察力，到现在仍然使人们印象深刻。柯尔莫果洛夫并不是物理学家，他是一个大数学家，是莫斯科概率论学派的代表人物，他居然不是靠他在数学上的高超水平，而是依靠对流体物理的洞察力就建立起湍流力学研究史上的一个里程碑式的成就，真让人叹为观止。（注：雷诺数又是一个无量纲数，在黏性流体力学中，它表示流体的非线性惯性力和流体的分子粘性力的比。雷诺数很高时，表示运动中流体的非线性惯性力很大。雷诺数很低时，表示流体的分子粘性力很大。）

能够像柯尔莫果洛夫那样，以一个物理模型就化解了全部数学难点，这种例子并不多。 更多的情况是只能化解一部分，余下的难点仍然要进行数学处理，比如巴切勒 1972单分散沉降理论的建立就是这样。 巴切勒 建立他1972 年理论时，对他所研究的悬浮体物理模型，规定了以下三点。第一该悬浮体必须稀释，这样他就可以把至今尚未解决的 n粒子之间流体动力相互作用难题(n大于2)，简化为目前已有答案的两个粒子之间的流体动力相互作用。第二该悬浮体必须是由“硬球”（hard sphere）组成，这样他就可以不考虑粒子之间所有可能的相互作用势。第三该悬浮体必须是单分散的，也就是说所有粒子的半径大小完全相同，所有粒子的组成成分完全相同。于是在这种悬浮体中，粒子和粒子之间在重力作用下，就不存在相对重力沉降，粒子之间的垂直距离就永远保持不变。虽然每个粒子的绝对重力沉降仍然存在。对于这样的悬浮体，求解粒子的统计平均沉降速度时，就可避免求解多粒子统计结构的难题，对于稀释体系而言，这模型就可使人避开求解粒子对的统计对分布方程难题。因为此时，从物理的直观就可判断出，这种悬浮体中粒子对的统计对分布是均匀分布，归一化以后其值恒为1。然而即使如此，还有另一难题，就是粒子对低雷诺数流体动力相互作用慢衰减造成的沉降积分发散。这个难题在上面的模型中并未化解掉，还有待人们解决。这问题仍然十分艰难，从1942年伯杰斯（Burgers）开始经过了二十多年的努力，最后到巴切勒才把它解决。他发明了一种非常巧妙的方法使积分得以收敛，从而造成了多粒子体系沉降研究上的一次突破性进展。这不仅是悬浮体力学的重大进展，人们评价，它还是20世纪中流体力学重要的进展之一。

1．2．2．2用各种近似化解数学难点

把物理思想注入于数学之中的第二个方法就是进行各种近似。所谓近似就是依靠对与问题有关的各个物理因子，比较其大小后，忽略掉影响较小的因子，抓住影响大的因子，从而可以使问题得以解决，虽然这是一种近似解。在粘性流体力学中，由于支配它的运动的纳维━斯托克斯方程是时空四维非线性的偏微分方程，至今还没有发明出严格求解的数学方法。而另一方面在这门学科的发展中，使用各种各样的近似，常常会得到一些很有效很成功的解答。因而近似方法在这门学科中就是经常使用的重要办法。一个成功的近似往往就会对流体力学的发展做出重要贡献，因而这个近似的创始人就会成为流体力学中的著名人物，这个近似法也就以其创始人的姓来命名。例如亚音速机翼绕流理论中的卡尔曼-钱（Kármán-Tsien）近似（Tsien即钱学森，这不是汉语拼音，是威妥玛拼音，卡尔曼是他的老师冯卡尔曼（von Kármán）, 20世纪上半叶又一位国际流体力学大师）。在现代电子计算机发明以后，人们创造出另一种方法，即求方程的数值解。把方程放到巨型计算机里去算，让计算机去解决问题。然而即令如此，依靠物理思想去进行各种近似，仍然是一种不可替代的方法。当能通过这种方法求得问题的解析解时，就会使人们对问题中的物理图象有了一个更清晰更深刻的认识。而求数值解的方法，常不能给人以清晰的物理图像。因此，两种方法也不能绝对相互排斥，常常需要同时使用两种方法，使之相互补充。一般都尽可能先对问题进行近似处理，然后再进行大量数值计算。

悬浮体力学或气溶胶力学是流体力学和胶体科学或气溶胶科学交叉的新兴学科。所以在这门科学的发展中也常使用流体力学中的近似方法。正像在粘性流体力学中经常把雷诺数或雷诺数的倒数当做微扰参数来做各种近似一样，在悬浮体力学中也经常把皮克列特数或其倒数做微扰参数来求各种近似。近似方法的基础就是前面曾讲过的大胆的假设，只不过这种假设物理基础更坚实一些。比如在大胆假设那一节中讲到斯莫鲁霍夫斯基的假设，他在 皮克列特数大于1时忽略掉弱布朗运动，而且忽略粒子间的相互作用以后，他所得到的就是的高皮克列特数下碰并的一级近似解，反之在皮克列特数小于1时，忽略掉弱对流运动，并仍忽略一切相互作用以后，所得到的就是在低皮克列特数下碰并的一级近似解。后来者的修正工作，只不过是使之更精确，从而得到在相应皮克列特数条件下的高级近似。

有时候一次近似还不行，还要进行第二次近似，巴切勒和我在建立多分散粒子沉降的统计理论时，就曾采用过两次近似。那是在1980年我成功地克服了求解粒子对统计对分布方程的困难，得到高皮克列特数下，忽略弱布朗运动以后，粒子统计对分布方程的解析解，这当然是个一级近似解，而且按照流体力学中的微扰方法，这是个奇异扰动问题。我所得到的高皮克列特数下，忽略布朗运动以后的近似解并不能适用于整个空间。事实上，它只是外域解，只能适用于外域。 在邻近两粒子的碰撞球面上有一薄层存在，这叫内域，或叫边界层。在这一薄层中，对我当时正在处理的碰并问题而言，范德瓦尔斯分子引力不再能忽略。 对巴切勒当时想用我这个解去求沉降积分而言，也在碰撞面上的邻域有一薄层存在，在这一薄层中，布朗运动不可忽略， 而不管皮克列特数是如何之高。因此严格讲，只有建立起这个布朗运动起作用的边界层方程，并求出它的解后，才能得到高皮克列特数下沉降系数的一级近似值。然而巴切勒此时作了又一次近似，他认为可以置这个内域边界层问题于不顾，由于这个薄层相对于整个无穷域的沉降积分而言，是一个小量，可以忽略不计。完全可以用已经得到的外域解在整个无穷域进行沉降积分就可以了。然而不久前，我和我的学生对这一问题进行深入一步的检验。我们建立了布朗运动起作用的边界层方程，并求出它的解析解。计算结果表明，对于小粒子对大粒子沉降的影响而言，巴切勒的两次近似可以接受，但是对于大粒子对小粒子沉降影响而言，这两次近似就会产生较大误差。 我们会在第四章中更详尽地谈到这个问题。

1．2．2．3用各种变换化解数学难点

除去利用物理模型和各种近似来化解数学难点以外，变换也是一个常用的方法。 有时候，按照某一数学方法的应用条件，乍一看来，你所研究的问题并不满足，好象无法使用这一方法。但在仔细分析以后，你往往会发现可以利用该问题的一些特点进行变换。于是就可以不去解该问题原来待求的物理量，而是去研究对该物理量的某种变换。这个经过变换以后的变形却可满足该方法的使用条件，从而可用该方法求解，等求到这个变形以后，再用原来使用的变换方法进行反变换，于是就求到了原来待求的物理量。

我们在建立“对流暖云大云滴随机生长的马尔柯夫过程理论”时，就曾遇到过这种事。在论证出云中各种湍流起伏场是一个短相关起伏场以后，我们就放弃了在早期云滴随机增长理论中使用的平稳随机过程的方法， 而采用了更为恰当的马尔柯夫过程的方法。在马尔柯夫过程中，人们早已证明，当生长过程属短相关过程后，待求的大云滴概率分布，就满足一种对流扩散型方程，求解这个方程就可得到待求的大云滴概率分布的严格解。然而在建立大云滴随机生长的马尔柯夫型对流扩散方程时，我们遇到了一个看去是难以逾越的障碍。原来在马尔柯夫过程中，按照泰勒（G.I.Taylor）定理，要写出此时的“扩散”式生长的“扩散系数”，大云滴的生长速度就必须与它的半径大小无关。这是随机生长中的一个关键问题。但可惜云滴生长速度和它的半径大小有关，这样就不可能按现有的理论方法再做下去。经过仔细分析，我们发现这问题可以用某种变换来处理。经过变换，我们把在半径坐标轴的 “扩散式”生长过程，变到Z坐标轴上的“扩散式生长”。而在Z坐标轴的生长速度与Z大小无关，仅与云中湍流起伏场特征量有关。于是就可按泰勒定理写出在 Z轴上的“扩散式生长”的扩散系数。从而求得Z变换的对流扩散方程的解。之后，再按照原规定Z变换定义进行反变换，于是就得到了待求的云滴随机生长的概率分布了。这是根据问题本身的物理特点进行适当的变换以化解数学上的困难，使问题得以找到答案并取得成功的一个例子。我们将在第六章中有更详尽的介绍。

有的时候，所研究的问题十分复杂，一次变换还不能完全解决问题，这时就需要进行多次变换才能求解。 我和巴切勒在建立悬浮粒子在高皮克列特数下对流碰并的统计理论时，就碰到过这种事情。前面曾讲到，1980年我在剑桥做高皮克列特数下悬浮粒子的碰并问题时，第一步我成功地突破了粒子统计对分布函数的外域解的难题，得到了对分布外域的解析解。由于碰并率的积分不是一个从碰撞面到无穷远域的体积分，而是个面积分，积分面恰恰在两粒子之碰撞面上。因此，对于碰并问题而言，我必须接着求解内域问题。也就是说要建立起范德瓦尔斯分子引力起作用的边界层方程，并得到对分布边界层解。这是一个难度非常大的问题。为克服这些困难，我们使用了多达四次的变换，才解决问题，得到一个非常漂亮的解析解，从而打破了斯莫鲁霍夫斯基对流碰并的轨迹分析法的限制，建立起对流碰并的统计理论。我们将在下一章更详尽地谈到它。