开场白：今晚讲的不是数学本身的内容，而是一些关于数学的问题，可算作一种数学评论。“关于数学”的问题，剑桥分析学派的泰斗，数学家哈代（Hardy）尝言：当一个数学家开始离开数学研究而开始谈论关于数学的问题的时，忧伤之情便油然而生了。哈代认为数学评论“可算是二等水平的学问”，就像文学评论，画的评论之于文学，画的艺术一般；而数学作为一门艺术而存在，没有任何功用，历史上没有任何火药味的东西是由数论或垒素发明出来的。哈代这一段1940年左右说的话很快被1945年美国投放在日本的原子弹所否定，因为原子弹的制造与数论、相对论至关密切，而数学之功用更是勿庸多言。所以如何看待数学、研究数学、学习数学并不是那么可有可无的二等工作的问题。
有一件事情可以很好的表现一种对数学的态度，那便是“数学建模竞赛”，这于1985年开始的数学建模国际比赛是很盛大的赛事，意义重大。
MCM (mathematics competition in codeling, 1987年后，将competition 改为contest)，数学建模竞赛在美国举行，现在已有9个国家四百多支队伍参加，我校的参赛队也取得了不错的成绩。数学建模竞赛前，美国已存在着数学竞赛，称为普特南竞赛，始于1938年，由MAA（Mathematics Association of America）主办，实际发端于1931年，关于比赛事，有一段佳话：西点军校与哈佛大学举行学生足球比赛，上半场西点军校领先，哈佛校长，路易斯老脸难挂，便在中场休息时找到西点校长说：“要是比赛数学，你们的学生可能就要输了。”西点校长当然不服，当即便允下次年举行数学比赛。路易斯的亲戚普特南给予了经济上的支持。可是1932年的比赛中，哈佛仍然未有胜出。
MCM的比赛方式一般是由非娄学部门提出问题，一般没有既定答案，要求提出数学模型，并进行分析，作出解答。一般分为两组题，A组多涉及连续数学，B组多涉及离散数学。以1999年的试题为例：A组的大意是直径1公里的星体撞击南极点，建立模型分析以下问题：伤亡估计，影响波及地区、冰块融化浸占地表面积等等。而B组问题的大意是要设计某室内场合的最大合法人数，考虑到地震、火灾等意外，设计餐馆、电梯、足球场等地的合适人数，并与实际进行比较并写文章到报纸上发表，还要求考虑由像餐馆的桌椅是否可以移动、酒巴拥挤得程序而带来的差异。另外，从1999年始还有了C组问题，多是跨学科的问题：A问，在油罐的存地可能存在污染，今有十个地下井观测点，多年的数据，要求对这些数据进行分析，分析当地污染情况。B问，设计一种测量模型办法，使其测量结果准确，有效。2000年C组问题独立出现，同时举行，名为ＩCＭ，即跨学科模型竞赛。参赛方式：一般由３人组队，一个老师指导，时间为两天半，指导老师在开始时可帮忙选题，然后离开，比赛过程中，除与活人讨论外，可以用任何方式进行解答。答卷要求用英语，由以下几部分组成：
①重述题目
②依据的基本数学假设是什么，怎么得来的？
③假设分析
④清晰的模型表述
⑤模型的测试
⑥模型的解答
⑦优缺点的讨论
另外还需要不超过一页的摘要，也很重要。
所有完整的参赛作品都将被重视分为四个级别：成功参赛者、值得表扬的、良好的、优秀的。中国1988年开始参赛，当时北大、清华、理工大学参加、北大当年即获一个“良好的”级别奖。
现在国内也有此类比赛，基本模仿美国的做法，发展较快。
这种比赛时间长，需要精力足，有毅力，合作精神等。应该对此给予足够的重视。这不仅仅是一场数学赛，更是一场对自身的锻炼与挑战。这一模型比赛突破了在数学教学界上主异地位的形式主义思维数学。将数学与实际应用密切结合，很好的推动着数学的发展，以及对数学的更新全面的看法。
数学模型与数学文化慢谈（下）
数学学院，雷功炎教授，2000年10月18日晚7：00 理1#1114
二战后，由于计算机等相关高科技的发展与进步，数学的发展在全世界的范围被越来越重视。而且数学被越来越看作技术，而不仅仅是一门学科而已。数学与关键部门（哪些关系到国计民生的重要部门，如国防、军事、航天、航空、石油、半导体、生存库存……）的关系日益密切，数学技术的发展直接影响着这些部门的发展与力量。建立数学模型并在数模的基础的计算成了中心的环节——即由数学技术转化为生产力的中心环节。数学模型正是一种将理论与应用相结合的典范，这非常有利于我们更好的认识数学，了解数学，发展数学。
不仅在一些大的生产、要害部门，数学的地位日隆，就是我们的日常生活中也不是数学技术的进步给我们带来的便利。比如IP电话的使用，其中的要害技术——数据的压缩与解读问题；再如抽水马桶的设计——如何让其冲水音量小而又能冲得干净却是通过数学的计算与应用而实现的。尽管数学可以说是无处不在，但“什么是数学”或“数学是什么”的问题却一直没有个能被普遍认同的答案。美国或前苏联的一些极有影响的数学家在讨论或著书 说讨论“什么是数学”的问题时，一般的做法也只是把数学学科的各部门构成进行罗列，叙述一番，如算术、几何、方程、数论、微积与理论等等。而唯物主义者恩格斯则认为：数学就是研究空间形式与数量关系的学问，哈代（Hardy）则更倾向于认为数学只是一门艺术，与琴棋书画一般，跟外界事物没有多少联系。Hopper则认为数学就是替我们解决问题的好方法。真是各种各样，难衷一是。而关于这问题的讨论早就有了，就在二十世纪的大讨论中，围绕“数学是否真理”的问题展开大讨论，基本上形成了三个流派：
一是以罗素、怀特海为代表的逻辑主义学派，他们认为数学是逻辑的一部分，而逻辑是真理，数学自然就是真理。真理是具有包容性的。逻辑的真理除了反映客观世界规律的哪部分外，还包括通过推理演出来的“理性其理”。数学同样具有这样的特性。这样一种态度与观点在逻辑学界和数学界都同样具有很重要的影响力。
第二学派是以布劳维尔为代表的直觉主义学派。说学派认为数学的真理唯一来源便是人的直觉，看其是否可以接受，它既不取决于经验，也非来自理性，而是人的直觉。经验是有功用的，理性也是能起作用的，但那只起到使人的直觉觉醒的作用，闪念的迸发。帕斯卡也说：心有其理，非理之所能知。而推理是愚蠢的人因为没有通过直觉获得真理，只好通过推理去发现真理。他们的观点很大程度上受康德主义的影响。康德主义认为，外物永远是外物，只是人的认识与心智在变化，这种直觉主义主为人不可能获得真理，真理是不可能存在的。
第三个流派是以希尔伯特尔为代表的形式主义。这正是现代数学教学与研究的主流流派，影响极为深刻。这一学派认为数学的各体系各自独立，相容而且完备，尽力的发展每一部分便是数学之任务；不用管客观世界的问题，数学就是数学，与外界无涉，另外还认为在一般数学之上还有一个总的之数学(Meta-mathematics )的存在。
这三大学派的观点很具代表性，可以说占主流的地位，但一直以来也同样受着众多的挑战与趋向，先看看逻辑主义学派，罗素本人在1937年《数学原理》再版时已经认为逻辑并非全是真理，所以数学也并非全是真理。在其晚年，罗素走得更远了，对数学非确定性的思考成了他思想的主题，尽管他的数理逻辑贡献功不可没。至于直觉主义，它否定“实无穷”，即所有的东西都是在一起的，实在的并且是完成的；肯定潜无穷，即推理的、发展的、未完成的无穷，对于构造性数学，每一步都是有限的，从n, n+1, n+2, ……直至推进的无穷。对“选择公理”，罗素举了例子说：若有无穷双鞋子，那么命题“取出左脚”是可以成立的，但若是所有无穷双袜子就存在问题。直觉主义对袜子的编号解答也不满意，认为人不可以对潜在袜子进行编号。而形式主义，则一直交着各方面的理论压力，甚至挑战。哥德尔的两个定理基本葬送了希尔伯特关于真理独立完备等观念。即公理学说的相容性问题是无法证明的。爱因斯坦曾称誉哥德尔是“亚里士多德以来对逻辑做过最大贡献的人”。对逻辑的否定还得通过逻辑的形式，但不可以从逻辑上进行正误判断，因为绝对真理本就不存在。科莱茵《数学学科确立性的消失》是对形式主义的系统批判。
除了数学确立性问题外，数学还有个应用性问题。我们提倡数学的应用性，但并不排斥纯数学，追求精神高雅的同时引出有用的东西。起源于古希腊的数学四门包括算术、几何、天文、音乐，可算是综合的学科，而像欧几里德，阿基米德等大家都是综合性大家。现在数学里更有系统论、信息论、控制论等等。过分形式主义是历史形成的，但我们不能只重形式，更要关注内容。在数学创造领域，既要有真理取向，也要有美学取向，实用取向等。鉴别与选择有直觉的作用，但别忘记灵感是来源于积累。
