1. “时空弯曲”究竟是指什么弯曲了？

我们能讨论时空的“弯曲”吗？“时空弯曲”仅仅是一个形容词？它究竟形容了什么？还是有对应的物理实质？如果有，对应的物理实质又是什么？

显然，不可测量的，在物理学中也是不能讨论的。关于一个物理学所讨论的物理量，物理学只能讨论如下三个方面的话题：一是该物理量的测量对象是什么，这个测量对象必须是可测量的，即它必须是实际存在的，不是虚幻的。二是测量的方法或标准是什么，即关于该物理量，我们是怎样进行测量的。三是测量的结果是什么。离开了这三个方面，其它的一切讨论，都是唯心的、凭空进行的、不可检验的讨论。同样， 关于物理学中的时空，我们也只能讨论这三方面的话题，一是时空这一物理量，测量的对象是什么，或者说，当我们测量时空时，我们究竟是在测量什么，二是物理学中的时空是如何进行测量的，三是测量的结果是什么。除此之外的一切讨论，都是形而上学的、不可检验的、在物理学中毫无意义的讨论。显然，我们只能讨论在某个参照系中，用某套时空测量标准，所测量出来的实际存在的物质运动过程所花费的时间和所占用的空间。我们可以讨论不同参照系、不同测量标准之间的区别，但当参照系确定后，当标准规定好后，我们就不能再讨论参照系或测量标准的变化了，它们是唯一的，不变的，除非我们重新规定了参照系或测量标准。在唯一不变的一个参照系中和唯一不变的一套测量标准下，我们只能讨论用这套标准在这个参照系中的实际测量结果，除此以外，我们什么也不能讨论，否则，我们的讨论就只能是凭空的、唯心的讨论。而且，这个实际测量的结果，必定有一个实际存在的测量对象，即它是实际存在的物质运动。离开实际存在的物质运动，直接讨论时空本身的特征，如时空本身是不是弯曲的，一维时空的两个端点在高维时空中会不会纠缠在一起，会不会首尾相接，甚至穿越时间去旅行，等等，都是在凭空讨论，因为这种讨论没有上述的那三个方面作为基础。

我们不能讨论与参照系和测量标准无关的时空测量结果，也不能讨论与实际存在的物质运动无关，与测量对象无关的时空测量结果。也就是说，离开了参照系、测量标准和测量对象这三个要素，讨论时空是毫无意义的。我们不能讨论与这三个要素无关的所谓的“真实的时间和空间”，或“绝对的时间和空间”，不能讨论这种“真实时空”或“绝对时空”的大小、弯曲、有限或无限。我们不能给时空赋予一种类似“实体”一样的性质，就像从前的“以太”一样。

我们只能说，用我们的标准测量，物体运动的轨迹弯曲了，但不能说，“时空弯曲了”。我们只能说，用我们的标准测量，两个具体物体之间的距离是多少，一个箱子中的体积是多少，一个具体过程所用的时间是多少，但我们不能讨论两物体不存在时的“距离”，箱子不存在时的“体积”，过程不存在时的“时间”。同样，我们只能讨论针对于实际存在的物质运动对象的物理规律，不存在无具体物质运动对象的物理规律，不存在纯粹关于时空的物理规律。

有人说，“时空弯曲”的说法暂且不谈，但即使两物体不存在，两物体间的距离是实际存在的，箱子不存在，箱子中的体积是实际存在的，过程不存在，过程所用的时间是实际存在的。但这种与具体物质运动无关的“实际存在”的距离、体积、时间能测量吗？我们能测量“虚无”吗？或我们能在“空虚”中测量吗？如果无法测量，我们讨论它们的“实际存在”还有什么意义？如果两物体不存在，箱子不存在，过程不存在，则这里的距离远近，体积大小，时间长短的具体数值又是从何而来？它们是谁和谁之间的距离？是谁的体积？是谁的时间？能存在无法测量或不需测量的物理规律吗？

那么，广义相对论中的“时空弯曲”究竟是在说什么呢？

让我们首先来看一看广义相对论的三大实验验证，一个是光线在引力场中的弯曲，一个是引力红移，一个是水星近日点的进动。显然，这些实验是在说，光线这个具体的物质运动轨迹在引力场中弯曲了，光波频率这个具体的物质运动特征在引力场中发生变化了，水星这个实际存在的星体，它的运动轨道应该是这样的，而不是那样的。显然，这些实验均有具体的测量对象。

有人说，在这些具体的物质运动对象背后，还隐藏有一个“更深刻”的原因，即“时空弯曲”了。因为“时空弯曲了”，所以才有光线弯曲，所以才有引力红移，所以才有水星近日点的进动。而“时空的弯曲”是由一个明确的物理量，即度规来描述的。爱因思坦的引力场方程就是用来确定度规的一个物理规律，或者说，就是用来确定时空弯曲程度的。时空连续区中不同的地方或不同的时间中，由于物质能量分布不同，度规是不同的，因而时空的弯曲程度也是不同的，因而光线的弯曲程度也是不同的。物质能量的分布状态决定了时空的弯曲程度。实际上我们是不需要“引力”一词的，原来所谓的引力不同，就是时空弯曲程度的不同。

那么，我们就来讨论广义相对论中的“时空度规”究竟向我们表达了一些什么信息。

在广义相对论中，度规被描述为ds2＝gijdxidxj 。xi（i＝0,1,2,3）表示时空坐标，即我们前面所说的固定于参照系中的时空坐标系的坐标，其中，x0对应于时间坐标t。这个表达式告诉了我们什么信息呢？仅从这个表达式看，它没有告诉我们任何有用的信息，因为它仅是一个关于度规ds的定义。

例如，在牛顿力学中，表达式E＝mv2/2仅是一个动能的定义，它告诉我们动能是怎样测量或计算出来的，除此以外，什么也没有告诉我们。动能E只能通过该定义式的右侧来测量，除此之外，再没有其它测量方法。如果动能还有其它测量方法，则此式就不是一个定义式，而是一个不同测量结果之间的关系式，是一个物理规律了。同样，重力势能的定义式为V＝mgh。但E＝V或mv2/2＝mgh却是一个物理规律，即机械能守恒定律，在这个规律表达式的两侧，所有的物理量都是独立可测的，而不是用该式中的其它物理量计算出来的。这个式子告诉我们，自由下落的物体在到达地面时所具有的速度与它离开地面的距离之间的关系，它确实告诉了我们一些有用的信息。

显然，ds2＝gijdxidxj 只是度规的定义，因为该式左侧的物理量ds只能通过该式右侧的物理量，用该式来计算，除此之外，ds没有其它的测量方法，因此，该式不是一个物理规律，它什么也没有告诉我们。同样，所谓 “平直时空”中的度规ds2＝c2dt2－dx2－dy2－dz2也只是一个定义式。

有人反驳说，如果认为ds2＝gijdxidxj 没有任何意义，那么，“平直空间”中的毕达哥拉氏定理dL2＝dx2+dy2也就没有意义了，这一定理在中国被称为勾股定理。显然，在勾股定理中，dL或L可以不通过勾股定理的右侧来测量和计算，它完全可以直接在空间中测量出来，dL或L的测量方法与dx或x的测量方法完全相同，只不过在测量dx或x时，我们是沿着坐标轴来测量的，而测量dL或L时，是沿给定的方向来测量的。而且，对于空间中的任意两个时空点，dL或L都能直接测量。正因为勾股定理的两侧都是可以直接测量的，因此，它才不是dL的定义式，而是一个定律，由于它是测量出来的，因而也可以说它是一个物理规律。数学中并未规定欧氏几何是绝对真理，我们所在的时空连续区中究竟应该成立那种几何，需要我们去实际测量才能确定。在引力场中，勾股定理就不成立。正因为我们测量出的dL2值不等于dx2+dy2，我们才说，在引力场中，“空间弯曲了”。因此说，如果dL2＝dx2+dy2成立或不成立，它肯定是测量出来的。但我们来看无引力场的“平直时空”中的ds的表达式ds2＝c2dt2－dx2－dy2－dz2，或“弯曲时空”中的ds的表达式ds2＝gijdxidxj，请问，在“平直时空”或“弯曲时空”中，如果不通过这两个表达式的右侧，对于任意给定的两个时空点，它们之间的ds怎样测量？

有人认为，测量物体运动过程中的固有时，也就是测量ds。在“弯曲时空”中，当物体产生dxi（包含dt）的运动时，ds2=gijdxidxj，在随该物体一同运动的参照系K/看来，dxi/=0（不包含dt/），ds2=g00/dx0/2，dx0/对应于dt/，请问，带上我们的时钟，随该物体一同运动，所测量出来的时间是不是该物体运动过程中的固有时？这个固有时表达的是不是dt/？ 如果这样测量出来的是dt/，但dt/不等于ds，只有知道g00/，才能算出ds。在“平直时空”中，当物体产生dx和dt的运动时，ds2＝c2dt2－dx2，在随该物体一同运动的参照系K/看来，dxi/=0，但我们能说ds2＝c2dt/2吗？只有当该物体作匀速直线运动时，我们才能说ds2＝c2dt/2，此时，固有时dt/才等价于ds，因为只有在所有的惯性系中，才有ds2＝c2dt2－dx2成立。如果该物体在作变速运动，则随该物体一同运动的参照系K/，就是非惯性系，该参照系中的时空就是“弯曲的”。 因此，按这种说法，当我们带上时钟，随物体一同运动，所测量出来的dt/，只有在“平直时空”中，并且还要求该物体只能作匀速直线运动，才等价于该物体运动过程的ds。显然，这样测量出来的ds或s，只是物体在“平直时空”作匀速直线运动时所产生的ds或s，并不是任意两个时空点之间的ds或s。例如，在“平直时空”中，如果ds2＝c2dt2－dx2＜0，即为类空间隔，则就没有任何物质运动能将ds两端的两个时空点联系起来，这种间隔用测量固有时的方法显然是无法测量的。

只有在“平直时空”中，并且只有当物体进行匀速直线运动时，我们测量该物体运动过程中的固有时，这里的固有时才等价于ds。如果在物体运动过程的每个时空点处，建立局域惯性系，在各个局域惯性系中，测量该物体运动过程中的固有时，这样测量出的固有时就等价于ds。由于ds是不变量，这样测量出的固有时随局域惯性系的变化就等价于ds随时空点的变化。用积分的方法对这些固有时的微分进行累加，就可得到该物体运动过程中总的固有时及总的四维间隔s。但这种测量方法是十分奇特的。显然，在这样测量ds时，测量的参照系以及测量时使用的时空测量标准，在各个时空点处是各不相同的，即使这些测量标准是从我们所在的惯性系中带过去的，但在不同的局域惯性系中，标准的变化情况却是各不相同的。但我们在测量三维空间的长度dL或L时，参照系和时空测量标准却是唯一不变的，即使这里的三维空间是弯曲的。从这个意义上说，四维时空的间隔ds与三维空间的长度dL，性质仍是完全不同的，它们之间不具有等同的物理含义。按照广义相对论，严格意义上的“平直时空”是不存在的，严格意义上的惯性系是不存在的，因此，严格意义上的局域惯性系也是不存在的。当然，这样测量出来的ds或s，并不是任意两个时空点之间的ds或s。

如果dL2＝dx2+dy2成立，它肯定是测量出来的，测量什么呢？能脱离具体的测量对象吗？这些具体的测量对象如果不是具体的两物体之间的距离，不是具体的由实物所确定的空间中的直线段，还能是什么呢？前已说过，我们能测量“虚无”吗？或我们能在“空虚”中测量吗？如果空间中空无一物，勾股定理中的三条直线段的长度代表了什么？这三个长度值从何而来？

有人反驳说，在我这里的说明中，已经认可了引力场中勾股定理不成立，认可了勾股定理是一个需要测量才能确定的几何定理。难道非欧几何中，空间不是“弯曲”的吗？我要说的是，你可以使用“非欧几何中的空间是弯曲空间”这样的说法，但这种说法的具体实质仍然是三个长度之间的一种不同于勾股定理的关系，而且，这三个长度均是该空间中实际存在的物体之间的距离。按照广义相对论，引力会改变这三个长度之间的关系，使其不再遵守勾股定理。从这个意义上，我们也可以说，“引力使空间发生了弯曲”。但我们要清楚，发生弯曲或变化的并不是毫无内容的空间，而是空间中具体存在的三个物体间距离的相互关系。

在三维空间中，我们用dL2＝dx2+dy2+dz2描述无引力场的空间中实际存在的两点之间的距离，或者说，dL2＝dx2+dy2+dz2是无引力场空间中的度规。在无引力场的空间中，勾股定理成立，空间中成立的几何是欧氏几何。同样，我们也用dL2=γαβdxαdxβ描述有引力场的三维空间中实际存在的两点之间的距离，这里，   α,β＝1,2,3。我们也可以说dL2＝γαβdxαdxβ是三维空间中的度规，它描述了三维空间的“弯曲程度”，即与无引力场的“平直空间”的区别，或与勾股定理的区别。即使是在引力场中，或所谓的“弯曲空间”中，dL也是可以直接测量的，它的测量方法与dx的测量方法完全相同。

我们可以像在三维空间中那样，用ds2＝c2dt2－dx2－dy2－dz2来描述无引力场时的“四维平直时空”，用ds2＝gijdxidxj 来描述有引力场时的 “四维弯曲时空”，并把它们称为四维时空的度规，认为它们等效于一个“四维距离”的表达式。这里，I,j＝0,1,2,3其中，x0对应于时间坐标t.但是，三维空间度规中的dL能够直接测量，而“四维距离” ds却无法直接测量。不论时空是“平直的”，还是“弯曲的”，不论有无引力场存在，“四维距离” ds均无法直接测量。因此，“四维时空中的距离”仅仅是一个类比。但我们不能把类比当成是真实。窗外正在下大雪，诗人说“忽如一夜春风来，千树万树梨花开”，我们不能真以为是春天来了。

即使我们认为三维空间是弯曲的，空间中成立的几何是黎曼几何，但我们能讨论四维时空的弯曲吗？甚至，能存在四维时空中的几何学吗？由于ds不能直接测量，这种几何学能测量和验证吗？最早将狭义相对论用“四维平直时空”中的张量方程形式表示出来的是闽可夫斯基，他曾是爱因思坦的老师，据说，在爱因思坦求学时，闽可夫斯基并不看好他的这位学生。显然，用“四维平直时空”中的张量方程形式来表示惯性系中的物理规律，物理规律的数学表达式会变得非常简洁。而且，惯性系之间按洛伦兹变换关系的变换，可以看成是时空坐标系的旋转，当时空坐标系以这种方式旋转时，“四维平直时空”中的间隔ds2＝c2dt2－dx2－dy2－dz2不会改变。这就像三维空间坐标系中的情况一样，当三维空间坐标系旋转时，空间中两点之间的距离也不会改变。但这只是相像，ds却不能像三维空间中的距离dL那样能直接测量。也是据说，爱因思坦最初也不赞赏闽可夫斯基在相对论方面的工作，但这不是报复，爱因思坦认为，闽可夫斯基的工作除了使物理公式的数学表达式更加简洁外，并没有实质性的物理意义。但是，后来，不知为何爱因思坦改变了他的初衷，认为“四维时空”中的间隔ds是一个实际存在的、且非常重要的物理量。我认为，尽管当参照系变换时，ds不会改变，但ds首先是一个参照系内部的物理量，但在唯一的一个参照系内部，ds却不能直接测量，它与三维空间中的距离概念只是相似，但却不像三维空间距离那样具有实际存在的、可测量的物理意义。

将时间乘以一个常数（光速）和空间加起来，构成一个新的物理量，就像将体积乘以一个常数（如水的密度），与质量加起来构成一个物理量一样，是十分奇怪的事情。

那么，我们千辛万苦由引力场方程求出的度规ds，就毫无意义了吗？

暂且不要悲观，虽然ds没有告诉我们任何有用信息，但ds2＝0或gijdxidxj ＝0却是有明确物理意义的。在没有引力场的时空中，此式为dL2－c2dt2＝0，它就是光速不变原理。实验证明，光线在引力场中是弯曲的，而gijdxidxj＝0描写的正是光线的弯曲，描写的正是引力场中的光子运动规律，gij的大小代表了光线在引力场中的弯曲程度，也反映了引力场的大小。

显然，表达式dL2－c2dt2＝0或gijdxidxj ＝0两侧的物理量均是可直接测量的，而且，测量时，测量的对象为实际存在的光子的运动。因此，这两个表达式均是完备的物理规律，它们分别描述了光子在有、无引力场环境中的运动情况。

原来我们由引力场方程所求出的是引力场中光传播的描述，度规ds或gij的不同，就代表了光传播的不同描述。

或者说，引力场方程并不是关于“时空弯曲”程度的物理规律，而是关于光线在有物质能量分布的时空中的弯曲程度的物理规律。显然，爱因思坦的引力场方程，仅仅只是在说，光线在引力场中是怎样弯曲的。由爱因思坦的引力场方程所求出的所谓的“时空度规”，仅仅只是在说，在有物质能量存在（也可以集中存在）的时空连续区中，不同时空区域中（包括物质周围的区域），光线的弯曲程度是不同的。物质能量的多少及其存在的状态，确定了光线的弯曲程度。

而广义相对论给出的解释是，“引力场方程是关于有物质能量分布的时空中的时空弯曲程度的物理规律，由引力场方程所求出的时空度规，是在说，在有物质能量存在的时空连续区中，不同时空区域，时空的弯曲程度是不同的，因而光线的弯曲程度也是不同的。”可以看出，广义相对论的解释中关于“时空弯曲”的部分完全是多余的，是多挠的一段弯路，应该用奥卡姆的剃刀剃掉。

在广义相对论中，人们认为引力使时空发生了弯曲，引力被“几何化”了，我们可以用“弯曲时空中的度规”来替代或表示引力。按照本文这里的解释，引力并没有被“几何化”，只不过引力场的大小与光线在引力场中的弯曲程度有关，或者说，我们可以用光线的弯曲程度gij来表示引力场的大小。光线的弯曲，如同子弹轨迹的弯曲一样，它是实实在在的物质运动轨迹。四维时空中的度规ds在几何学中没有对应的概念。不存在与三维空间中的几何学等同意义的、可测量验证的“四维时空中的几何学”。时空并没有弯曲，或者，根据前面的讨论，更准确的说，我们不能讨论时空本身的弯曲，只能讨论时空中物质运动轨迹的弯曲。

尽管多挠了一段弯路，但爱因思坦走得更远。爱因思坦认为，由引力场方程解出ds或gij后，不仅能得到引力场中的光传播描述，还能得到所有的物体在引力场中运动的描述。爱因思坦假设，物体在引力场或“弯曲时空”中的运动，就是沿这种“弯曲时空”中的短程线运动。在牛顿力学中，引力由牛顿的万有引力公式确定；而物体在引力作用下的运动符合牛顿第二定律。在广义相对论中，我们认为时空是“弯曲”的，引力场的大小与“时空的弯曲程度”相对应，“时空的弯曲程度” gij由爱因思坦的引力场方程Rij-gijR/2＝8πGTij确定，Tij为能量动量张量，根据时空中的物质能量分布情况就可求出gij；而物体在引力场中的运动则被认为是沿“弯曲时空”中的短程线运动。爱因思坦的理论取得了巨大的成功，不仅光线在引力场中的弯曲得到证实，而且，物体在引力场中的运动可以看成是沿“弯曲时空”中的短程线的运动，也得到了证实，水星的近日点的进动，用爱因思坦的理论就能得到圆满的解释。

那么，物体在“弯曲时空”中沿所谓的“短程线”的运动，又该怎样理解呢？如果“时空的弯曲”被理解为“光线的弯曲”，那这种“光线的弯曲”中的“短程线”又是指什么呢？对此，我只能这样说，这只是一套处理物体在引力场中运动的数学方法，按这种方法所计算出的物体在引力场中的运动轨迹，如水星的运动轨迹，与实际测量出的轨迹符合的非常好，因此，是实验证明了这套数学处理方法正确，有效。至于这套数学处理方法，是不能进一步解释的，这就如同引力场方程为什么只能取这种形式，而不能取另一种形式，麦克斯伟的电磁场方程为什么只能取这种形式，而不能取另一种形式一样，无法解释，只能说是实验证实了它们是正确的。后来，爱因思坦等人从引力场方程直接推导出了运动方程，不再需要“物体在弯曲时空中沿短程线运动”这一假设，但引力场方程并不直接等于运动方程，在推导过程中还需要增加一些假设，增加这些假设，并与引力场方程相结合，也可以理解为与实验吻合的一种数学处理方法。虽然我们将物体在引力场中的运动，说成是物体在所谓的“弯曲时空”中沿所谓的“短程线”运动，能够圆满的解释水星的近日点进动，但这并不能说明时空本身确实是“弯曲的”，实际上，我们就根本不能讨论“时空本身是否弯曲”这样的话题。

实际上，在广义相对论中，日蚀时光线在太阳附近的弯曲，是把光线也看作是引力场中一种特殊的短程线，即ds＝0的“零短程线”而计算出来的。本文认为，由引力场方程所求出的度规，当其等于零时，即当ds2＝gijdxidxj ＝0时，本身描写的就是光线在引力场中的弯曲。应该说，本文并未曲解广义相对论，因为无引力场的“平直时空”中光传播描述dL2－c2dt2＝0，在有引力场的“弯曲时空”中，必定就变化成gijdxidxj ＝0。如果认为由引力场方程所求出的度规，当其等于零时不代表光传播的描述，则度规ds2＝gijdxidxj就真的无任何可测量的物理解释了，无任何实际的物理意义了。

再来讨论一下广义相对论中的，除引力场方程以外的其它物理规律，如电磁规律。我们知道，在广义相对论中，只有将物理规律中的普通微分改写为“协变微分”，将“逗号”改为“分号”，物理规律才能在参照系之间作任意的（但应连续和可微）的时空变换时保持不变，物理规律才能在引力场中也能成立。如果不考虑参照系之间的变换，仅在一个参照系内部进行讨论，并把时空的“弯曲”理解为光线的弯曲，如何解释这种“协变微分”的计算方法呢？目前，我只能说，这种 “协变微分”的计算方法，也只能认为是一种数学处理方式，用这种处理方式所建立起来的电磁规律，与实际测量出来的引力场中的电磁现象完全相符。

三维空间中的“空间弯曲”应该怎样理解呢？我们在前面已经承认了在引力场中，勾股定理可能会改变。是的，勾股定理是否成立，需要实验证实，因为在数学中，除欧氏几何外，还可以存在如黎曼几何这样的非欧几何。也许，不仅引力场会改变空间中的几何学，其它因素，如电磁场也可能会改变空间中的几何学。在狭义相对论中，物体运动时长度就会缩短。但是，即使引力场中勾股定理不成立，变成了另一种形式，甚至说三维空间弯曲了，是说明了三维空间中实际存在的四段物体之间的距离发生了变化，还是说明了与实际存在的物体无关的纯粹空间发生了某种纯粹的变化？我们能讨论“纯粹空间”的“纯粹变化”吗？

可以认为，“时空弯曲”是爱因思坦及其他人为了方便的解释广义相对论，而发明的一个术语，它仅是一个术语或名词，没有任何实际的物理意义。当我们说“弯曲的时空”时，它就是指引力场，当我们说“时空的弯曲”时，它仅是指光线在引力场中发生了弯曲。我们只能通过光线的弯曲来理解广义相对论中所说的“时空的弯曲”。

实际上，在广义相对论中，或在爱因思坦所给出的说明中，我们是通过参照系之间时空坐标的变换来理解“时空弯曲”的，即在一个参照系中，时空是“平直的”，光线不会弯曲，但在另一个参照系中，该参照系中的时空坐标或时空测量标准可以相对于这个“平直时空”的参照系作任意的（但应连续和可微）变换，该参照系中的时空就可以理解为“弯曲”的，该参照系中的光线也就是弯曲的。或者说，按照广义相对论，该参照系中就可以认为存在一个引力场，至少认为存在一个等效的引力场。显然，这里的解释是对比而言的，是将一个参照系中的时空测量结果与另一个参照系中的时空测量结果进行对比，我们才说，另一个参照系中的时空，或引力场中的时空“弯曲”了，因为该参照系中的时空坐标相对于前一系发生了蠕变。那么，不与其它参照系比较，如果也不使用“光线的弯曲”来测量和解释一个参照系内部的“时空弯曲”，仅在一个参照系内部，如何测量和解释“时空弯曲”呢？或者说，一个参照系内部的人，也许这个参照系中的人根本就对别的参照系中的事情不感兴趣，只埋头钻研他所在的参照系中的物理规律，不与其它参照系进行对比，如果也不使用“光线的弯曲”来测量和解释“时空的弯曲”，那他如何测量和解释他所在的参照系中的“时空弯曲”呢？

2. “时空弯曲”时，时空坐标系发生变化了吗？

虽然在参照系中的不同时空点上，或在不同的引力场中，gij的值是不同的，光子的运动轨迹是不同的，对光传播的描述是不同的，在引力场中，光线可以弯曲，但是，测量出光线弯曲的时空测量标准、或时空坐标系却是唯一不变的，不会弯曲的。对光子运动的具体测量结果，难道不是在时空测量标准已经明确确定的前提下，在时空测量标准唯一不变的前提下，通过使用这些标准，通过具体的时空测量而获得的吗？对光子运动过程的测量和描述，难道不是在参照系内唯一不变的时空坐标系中进行的吗？如果认为时空测量标准发生了变化，时空坐标系发生了变化，那么我们对光子运动的测量和描述还有意义吗？而且，我们判断时空坐标系或时空测量标准发生变化的“更为标准的标准”又是什么呢？可以说，“时空的弯曲”，或更准确的说为光线的弯曲，是在时空坐标系或时空测量标准已经明确确定，并且唯一不变的前提下，具体进行测量的结果。

规定了时空坐标系或时空测量标准不会改变，并不等于就规定了不同区域的具体的时空测量结果不会改变，而时空测量结果的改变，正是用不变的时空测量标准所测量出来的。在我们所处的宇宙中，对光传播的具体描述，甚至于三维空间中欧几里德几何是否成立，需要我们在已有明确确定的时空测量标准的前提下，在时空坐标系已经明确确定的前提下，通过使用这些标准，通过实际去对光传播过程和空间关系进行测量才能确定。而我们在选择和规定时空测量标准时，在建立时空坐标系时，并没有、也并不需要对光传播的过程、对三维空间是不是欧氏平直空间做出规定。因此，即使我们在确定时空标准时，规定了时空标准在时空连续区中处处相同，时空坐标系唯一绝对，我们也可能会测得光线发生了弯曲，我们也可能会测得我们所在的空间不是欧氏平直空间，即实际存在的物体之间的空间关系并不遵守欧氏几何，而是黎曼几何。同样，我们规定了与时空标准完全等效的某个物理规律在时空连续区中处处相同，并不等于就规定了我们所处的时空是“四维平直”时空。爱因思坦的引力场方程应该在我们所处的参照系中处处成立，在广义相对论中，该引力场方程确定了我们现在所处的参照系中的处处相同的时空测量标准，但由此规律所确定的我们所在的时空却是“弯曲”的。导致所谓的“时空弯曲”，即光线弯曲的原因是引力场，而不是时空坐标系或时空测量标准发生了变化，这就如同使物体热胀冷缩的原因是温度的变化，而不是直尺发生了某种变化一样。

在广义相对论中，当“时空弯曲”或光线弯曲时，度规张量gij一般情况下是时空坐标（x、t）的函数，也就是说，在不同的时空坐标处，“时空弯曲”或光线弯曲的程度是不同的，这也说明在广义相对论中，时空坐标（x、t）是唯一的、绝对的，不会发生弯曲的，否则，如果时空坐标（x、t）不唯一，“时空弯曲”或光线弯曲的说法就变得毫无意义，而且，这种“时空坐标的弯曲”又是相对于谁而言的呢？如果认为gij反而描写了xi或x1、x2、x3三个空间坐标和时间坐标t的某种性质或特征，认为x1、x2、x3三个空间坐标和时间坐标t发生了弯曲，是不符合逻辑的。我们只能说，gij描写了以x1、x2、x3和t所定义的地点和时刻的其它物理量，如该时空点处的引力场大小或光线在该时空点处的弯曲程度。

应该说，在广义相对论中，包括度规张量gij在内的所有物理量的测定，并不需要事先知道“时空的弯曲情况”，并不需要事先知道光线的弯曲情况，更不需要知道“时空坐标的弯曲情况”。这些物理量的测量方法和测量标准，应该是在建立与该物理量有关的物理规律之前，如在建立爱因思坦的引力场方程之前，在定义出时空x、t的测量方法和测量标准的时候同时定义好的。通过时空测量和对这些物理量的测量，我们才能发现“时空的弯曲”或光线的弯曲，并归纳出描述这种“时空弯曲”或光线弯曲的张量公式或物理规律，包括引力场方程。我们不能说在得到了广义相对论理论之后，在求解了引力场方程之后，在确定了所谓的“时空的弯曲程度”之后，才能进行时空测量和这些物理量的测量，否则，就会产生因果关系上的矛盾。而且，如果事先没有进行任何测量，要求解引力场方程，那就只能是凭空求解。

当然，有些物理量的测量，与我们定义出的该物理量的测量方法有关，甚至与光线弯曲的测量有关。需要说明的是，尽管度规ds不能直接测量，但如果认为ds是通过ds2＝gijdxidxj来定义和测量的，而gij是通过对光线测量来确定的，则这样定义的ds就能参与到其它物理量的定义之中，如四维速度、四维能量动量张量的定义。这样定义的物理量的物理规律，如能量动量张量的守恒，规律中的所有物理量也就是可直接测量的，或由可测量的物理量定义或计算出来的。

在相对论中，四维速度被定义为dx/ds，通过对当地当时的光线弯曲程度测量后，才能确定出当地当时的gij，并定义出ds，进而确定出四维速度dx/ds。能量动量张量Tij的测量值因与四维速度有关，也就与光线的弯曲程度有关。这样，求解引力场方程就变得十分复杂，因为方程两边的物理量都与待解的物理量gij有关。显然，不论是测量dx，还是测量光线的弯曲并确定gij，并进而确定ds，以及确定其它所有的物理量，都需要事先确定时空测量标准，当时空测量标准确定后，这些物理量都可以直接进行测量，而不需要事先求解引力场方程。按这种方法测量出光线的弯曲情况gij及四维速度、能量动量张量后，我们就能验证爱因思坦的引力场方程是否成立，而不是相反，即在凭空求解了引力场方程之后，在凭空确定了所谓的“时空的弯曲程度”之后，才能进行这些物理量的测量。

在广义相对论中，物理公式中的微分已不是平直时空中的普通微分，而是“弯曲时空”中的协变微分，而协变微分的计算与“时空的弯曲程度”有关，与光线的弯曲程度有关。因此，经典意义上的、以普通微分表示的物理公式，如电磁场方程已不再成立，测量出的电磁场已不再符合经典的电磁场方程。根据广义相对论，只有当考虑了“时空弯曲”的影响后，即考虑了引力场的影响后，协变微分形式的电磁场方程才能与测量结果相吻合。但这并不能说明电磁场或其它物理量不能直接测量，或要在所谓的“时空弯曲程度”确定后才能进行测量。

在广义相对论中，给出了一个“观测量理论”，其中说明了时间、空间以及相关的物理量的“测量方法”。显然，按照这种测量方法所测得的“时间和空间”以及其它“物理量”，已不是度规表达式中的x、t和协变的张量公式中的物理量，而且，测量的结果确实与“时空的弯曲程度”有关。按照这种“观测量理论”，光速仍为c，且“恒定不变”。那么，根据这个观测量理论所测量出的究竟是什么呢？

广义相对论给出的解释是，gijdxidxj ＝0中的xi和t已不是“通常意义上的空间坐标和时间坐标”，而只是一组与通常意义上的空间坐标和时间坐标相关联的“参数”，具体的空间长度和时间长短，要用上述的“观测量理论”来进行计算。根据这种计算，光速仍为c，且“恒定不变”。

真的恒定不变吗？这里的“恒定不变”是相对于谁而言的呢？在计算各时空点的“通常意义上的”长度间隔、时间间隔和光速值时，“观测量理论”所给出的计算方法中都要用到gij，而gij是时空坐标点的函数，也就是说，虽然我们计算出了不同时空点附近的长度间隔、时间间隔，而且计算出不同时空点上的光速值都为c，但对每个时空点，我们不是平等对待的，每个时空点上的“待遇”与该点的gij值有关。实际上，我们说xi和t只是一组与通常意义上的空间坐标和时间坐标相关联的参数，相当于说“通常意义上的空间坐标和时间坐标”是另一个参照系中的时空坐标，我们计算出的光速值，实际上是另一个参照系中的光速值，该参照系为惯性系，该系中光速不变原理成立。而且，更重要的是，该惯性系仅是一个局域参照系，对我们所在系的不同时空点，这个局域惯性系是不同的。或者说，虽然我们测量出了各时空点处的长度间隔、时间间隔，并且测量出各时空点处光速相同，但我们测量时的参照物及时空测量标准却在随时间地点的不同而不断的变化着。显然，广义相对论中的“通常意义上的时空坐标”并不通常。

3.我们能穿越时间旅行吗？

狭义和广义相对论诞生后，相对论的时空观取代了牛顿的绝对时空观，我们关于时空的认识，达到了一个新的境界。但是，我认为，许多人误解了相对论，特别是误解了广义相对论，这种误解导致了穿越时空、回到过去或提前进入未来的时间旅行幻想层出不穷，甚至以为这种时间旅行是相对论所允许的。

“祖母悖论”显示出这种时间旅行幻想违背了因果关系，但我们这里仅从狭义和广义相对论本身来讨论相对论中是否允许时间旅行。

为什么广义相对论会让人们联想到穿越时间的旅行呢？显然是广义相对论中“时空弯曲”的说法给人们造成了误导。当我们说三维空间可以弯曲时，“空间弯曲”一词的实际含义是指，实际测量出来的空间中的四条实际存在的直线段之间的关系dL2＝γαβdxαdxβ，与勾股定理dL2＝dx2+dy2+dz2是不同的，而且，不论空间是平直的，还是弯曲的，dL都可以直接测量。但是，通过我们前面的讨论，可以看出，四维时空的间隔ds仅是一个定义式，不是一个物理规律，ds除了按它的定义来测量外，再也没有其它测量方法。我们不能说存在一个与三维空间中的几何学具有等同意义的，可测量验证的“四维时空中的几何学”，当然也就不能说这种“四维时空”中的几何是平直的欧氏几何或弯曲的非欧几何，这些说法也是毫无根据的。时间永远与空间无关的流淌着，空间也永远与时间无关的存在着。我们可以讨论三维空间的弯曲，但却不能讨论包括时间在内的“四维时空的弯曲”，甚至不能讨论“四维时空中的几何学”，当然，也就不能讨论纯粹的“时间弯曲”，或“时间流动速度的改变”，甚至“时间流动方向的改变”。时间坐标轴永远也不会与自身相交，更不会与空间坐标轴相交。当然，引力场或其它场也许能改变过程进行的速度，就像狭义相对论中运动能改变过程进行的速度一样，或者就像温度能改变过程进行的速度一样。但过程进行速度的变化，甚至反向，却不能理解为时间坐标轴弯曲了，或时间反向流动了。即使是三维空间在引力场中弯曲了，那也有可测量的对象，不是“纯粹空间”的“纯粹弯曲”。所谓的“四维时空的弯曲”，根据前面的讨论，实际上仅是指光线在引力场中的弯曲。

牛顿的绝对时空观认为，时空是绝对的，我们关于时空的测量结果与测量者的运动状态无关，与参照系的运动状态无关，在不同的参照系中，关于一个物体长度或一个过程所用时间的测量结果，都是相同的，时空测量标准在任何参照系中都是不变的，不同惯性系之间的时空变换遵守伽利略时空变换关系。

狭义相对论根据光速不变原理，推导出了惯性系之间的时空变换关系不再是伽利略变换关系，而是洛伦兹变换关系。由洛伦兹变换可知，一个物体的长度，或一个过程所用的时间，不同的惯性系将会给出不同的测量结果。也就是说，在不同的参照系中，或者对处于不同匀速直线运动状态的观察者而言，时空的测量结果是不同的，“时空”是相对的，或更精确的说，时空的测量结果是相对的，是相对于不同的参照系或不同的时空测量标准而言的。当然，这还有一个前提，即其它惯性系中的时空测量标准是从我们所在系带过去的，或其它惯性系中的标准，在该系中也能测量出光速不变原理。同样，在广义相对论中，在不同的参照系中，或在不同的时空测量标准下，时空测量的结果也是不同的。

但是，狭义和广义相对论并没有说，在一个参照系内部，“时空”也是相对的。对唯一的一个参照系来说，对唯一的一套时空测量标准来说，或者对唯一的一个观察者来说，他测量出的时空仍然是绝对的，唯一的，而且，时间不会加快或放慢它的“流动速度”，更不会反向“流动”。由于在一个参照系内部，时空是唯一的，绝对的，因此，我们可以像在牛顿力学中那样，在参照系中建立起一个时空坐标系，即画出三维空间坐标轴和一维时间坐标轴，这种时空坐标系，在这个参照系内部，是唯一的，不变的，或者说是绝对的。物体在该参照系中的运动，可以看成是在这个时空坐标系中的运动，物体运动的每一个时空点，其坐标值都是唯一的，绝对的。

既然在一个参照系内部，时空是唯一的，绝对的，时间流动的速度和方向不会改变，也就是说，在一个参照系内部，穿越时空的旅行是不被允许的，我们不可能回到过去或提前进入未来。既使不同的观察者处在不同的运动状态之中，处在不同的参照系之中，甚至他们手里拿着不同的时空测量标准，他们测量或观察到的情况各不相同，但对每一个观察者而言，他所测量或观察到的时空却是唯一的，绝对的，对他而言，时间既不会加快或放慢它的流动速度，更不会倒流。因此，对每一个观察者而言，他都不会观察到某个物体或某个人能够进行时间旅行，提前进入未来或回到过去，也不能观察到他自己能够提前进入未来或回到过去，在他的时空坐标中，任何物质运动，都只能按时间的唯一方向，按唯一不变的“时间流动速度”，从过去走向未来。

严格来说，讨论时间流动的“不同速度或不同方向”是毫无意义的。物体运动速度的测定是在时空测量标准完全确定的前提下进行的，也就是说，是在时空坐标系完全确定的情况下进行的。如果我们要测量或讨论“时间流动的速度或方向”，那我们所依据的测量标准又是什么呢？如果“时间本身的流动速度甚至方向”变化了，那么讨论物体运动的速度还有什么意义？

对每个观察者而言，由于时空坐标系唯一绝对，不会变化，时间不能倒流，则任何人也就不能回到过去，杀死他的祖母，阻止自己的出生。在物理学中，因果关系是绝对的，是一条拓扑化的物理规律。

在狭义和广义相对论中，我们获得了许多新的时空测量结论或物理规律，如运动物体的长度会缩短，运动物体上发生的过程会变慢，引力也会使物体运动过程发生改变等等。引力甚至会使三维空间中的几何不再是欧氏几何。我认为，这些新的时空测量结论或物理规律并不比我们以前熟悉的其它物理规律，如物体的热胀冷缩规律特殊，只不过在热胀冷缩中，导致物体长度发生变化的原因是温度的不同，而在运动或引力引起的物体长度发生变化的现象中，导致物体长度发生变化的原因是物体处于运动状态之中，或物体受到了引力场的作用。

运动物体上发生的过程会变慢，运动的人会显得更年轻，或引力使人更年轻，并没有什么值得我们迷惑的地方。运动或引力使人的生命过程变慢，使人显得更为年轻，与良好的保养使人更年轻，除了使人年轻的原因不同外（一种为运动或引力，另一种为保养），再也没有其它不同的地方。既使出现因运动或引力的作用，使人的生命过程反向，使这个人返老还童了（当然，在狭义相对论中，运动不会使某一过程反向，除非运动速度超过了光速，但在广义相对论中，引力场也许会使某一过程反向），但我们也不会认为在这个人身上，时间出现了“倒流”。这就如同在某些情况下，有些化学反应过程会变慢甚至可逆一样，我们并不因为化学反应的速度变慢而认为“时间变慢”，我们也不因为化学反应出现了逆反应而认为“时间倒流”。假设在一个参照系中，有一个人，由于高速运动或引力场的原因，该人的生长速度发生了变化，甚至于出现了反向，使该人返老还童了，但在这个参照系内部的所有观察者看来，使该人返老还童的现象发生在他前期的生长或变老过程之后，时间并没有混乱，也没有倒流。如果观察者没有认识到使那个人生长速度变慢甚至反向的原因是他处于高速运动之中或强引力场中，观察者可能会认为，返老还童可能是由于那个人服用了一种神奇的药水。

如果一个人乘坐宇宙飞船旅行，由于高速运动或由于引力场的作用，当返回地球后，我们发现他比同龄人要年轻许多，我们也许会说，“这位旅行者进入了别人的未来”。但是，这里的“别人的未来”对这个“别人”来说，不是还未发生的事情，而是正在发生的事情。也许，宇宙中某一处的引力场使旅行者生命过程变快，他返回后反而更老，我们也可以说，“旅行者回到了别人的过去”。同样，这里的“别人的过去”对这个“别人”来说，也不是以前发生过的事情，而是正在发生的事情。这种“进入未来”的方式，与将这位旅行者冷冻起来，过几十年再让他复苏，并无实质性的差别，这种“回到过去”与旅行者因生病而提前衰老并无实质性的差别。但是，无论怎样，一个人是绝对不会回到自己的过去或提前进入自己的未来的。

有人说，根据狭义相对论，如果存在超光速运动，会导致“时间反向”，导致因果关系的混乱，但笔者认为，这是对狭义相对论的误解。狭义相对论中只是说，在一个参照系中正向进行的过程，在另一个以超光速运动的参照系看来，可能会变成逆向进行的过程，但在唯一的一个参照系中，正向进行的过程仍然是正向进行的过程，逆向进行的过程仍然是逆向进行的过程，时间并没有反向，因果关系并没有混乱。在唯一的一个参照系中，如果存在一个物体，其运动速度由低速到达光速，并最后超光速（实际上，在狭义相对论中，物体的运动速度不能超光速，这里只是借用“物体”一词），该参照系会看到，这个物体上的过程在以光速运动时停止了，在超光速时甚至可能反向进行了，但在该参照系看来，反向进行的过程仍发生在前面的以低速运动时的正向过程之后，在这个参照系内部，时间并没有混乱。在超光速运动状态下，原来正向进行的过程变成了逆向进行的过程，就像在某些浓度条件下，原来正向进行的化学反应转变成逆向进行一样，并没有什么奇怪的地方。

在一个参照系中看来正向进行的过程，在另一个以超光速运动的参照系看来，变成了反向进行的过程，这说明，由这两个参照系不能提取出相同的拓扑关系，事件的先后顺序，因果关系，在这两个参照系中是不同的。不同参照系中的不同的拓扑关系，属于不同的拓扑化的物理学。这就像相互之间存在突变的不同的时空测量标准也会得到不同的拓扑化的物理学一样。但这不能说明，这两个参照系的内部不存在因果关系，时间在这两个参照系的内部是混乱的。因果关系在各自系的内部仍然是存在的，时间在各自系的内部看来并没有混乱，只不过两系中的因果关系各不相同，两系中所说的“时间”也各不相同而已。

在狭义相对论的理论中，如果存在超光速，则有两个公式将不能使用。其中一个是洛伦兹变换关系，这说明，这两个以超光速相对运动的参照系之间不存在不存在洛伦兹变换关系，甚至可能不存在连续和平滑的任何联系，因为它们分别属于不同的拓扑化的物理学。另一个不能使用的公式是物体的运动质量与速度的关系，当物体运动速度增大时，其运动质量也会增大，当速度接近光速时，运动质量会接近无穷大，要使物体达到这一运动速度，所需要的能量也将达到无穷大。这说明，具有质量的物体的运动，不能超光速。由于现在发现的所有形式的场，如电磁场、引力场的传递速度均为光速，因此，我们可以说，在狭义相对论中，物质和能量的传递速度不能超光速。但这不能说明，如果存在超光速运动，因果关系或时间就会混乱。这只是说，在我们所在参照系以及一切惯性系看来，如果存在超光速，则超光速传递的东西不能是物质和能量。

实际上，不论是在牛顿力学中，还是在狭义和广义相对论中，包括在量子力学中，所有的物理过程都是可逆的，我们将这些物理规律中的时间t改为－t，物理规律的数学形式仍成立。逆过程有逆过程产生的原因，除了我们已知的原因外，在狭义相对论中，逆过程还可以由超光速运动引起，在广义相对论中，逆过程还可能会由引力引起。允许物理过程逆向进行，并不等于允许“时间逆向流动”，也不等于能够进行穿越时间的旅行。否则，人们为什么没有说，在牛顿力学中，时间也能“逆向流动”？为什么物理过程可逆没有引起人们的思想混乱，因为我们谈论的可逆或不可逆，是指物理过程可逆或不可逆，是指物质运动变化可逆或不可逆，但在广义相对论中，我们却是在谈论时间本身是不是可逆或弯曲。

关于时间的唯一方向或唯一箭头的来源，是物理学中的一个经常被讨论的话题。在物理学中，有多个不对称或不可逆的物理现象都有可能作为时间的唯一的箭头，其中一种时间箭头与热力学第二定律有关。与热现象有关的物理过程是不可逆的，由此不可逆过程，可以确定唯一的一个方向或箭头，这一箭头就是热力学的时间箭头。其它物理定律，尽管与时间的方向无关，在理想情况下，这些物理过程可逆，但是，绝对的与热现象无关的物理过程似乎根本就不存在，几乎所有物理过程都是不可逆的。由于物理过程不可逆，所以时间也不可逆。显然，在这种时间箭头的来源中，时间的箭头与不可逆现象有关，而不是与可逆的物体运动有关，不是与物体运动是否超光速有关，也不是与可逆的引力场作用有关。

霍金在他的《时间简史》一书中，曾讨论过“人的心理学上的时间”。霍金将人的心理所感知的时间也解释为热力学中的时间，即由于过程不可逆，特别是人身体内的过程不可逆，使人们意识到时间在不断的流淌。返老还童的那个人自己所感知的时间是怎样的呢？如果引力场使那个人返老还童的过程，与返老还童之前的过程一样，都是热力学上的不可逆过程，则那个人就不可能感知到在他的身上时间可逆，在他看来，返老还童是在原先的变老过程之后新发生的过程。如果引力场使那个人返老还童的过程是热力学上的可逆过程，则那个人就有可能感觉到是回到了过去，如果过去的记忆还保留着，并且能够用来与现在的感觉进行比较。但“过去的记忆还保留着”，说明“过去的就是过去的”，时间并没有倒流。如果那个人没有保留过去的记忆，则他就不会感到回到了过去，尽管他已经返老还童了。但是，不论怎么说，在其它人看来，那个人返老还童的过程还是新发生的过程，是在他变老之后再返童的。霍金常常谈论时间旅行，但我不知道他为什么又有这种想法。

可以看出，时间与空间有着巨大差别，时间永远是“一去不复返的”，时间不可能“倒流”，我们无法回到自己的过去，或提前进入自己的未来。我们只能在空间中旅行，但我们却不能进行穿越时间的旅行。

4.直线是怎样测量出来的？

在时空测量标准中，有一个非常重要的测量标准，这就是直线是怎样测量出来的？如果我们能判定一条线段是不是直线，我们也就能判定一条线段是不是曲线。

请你不要回答说，几何学中有直线概念的明确规定，因为按照希尔伯特的观点，在公理化的几何学中，点、直线、平面等概念是不加定义的，“点”、“直线”、 “平面”仅是一组符号，它们甚至可以代表任何事物。例如，“点”可以代表凳子，“直线”可以代表桌子，“两点确定一条直线”可以理解为“两条凳子可以拼成一张桌子”。

直线的测量标准为什么重要呢？回想一下我们的长度测量标准，即直尺，我们凭什么说它是直的呢？回想一下我们前面讨论过的固定于参照系中的坐标系，它与时空测量标准等效，我们凭什么说坐标系中的坐标轴是直的呢，特别是三维空间坐标轴？如果直线的测量标准不明确，则“直尺”就不可能是直的，长度的测量就有问题，我们测量出的所谓的“直线距离”就不是直线距离，我们测量出的“长度”就不是通常意义上的长度。可见，在物理学中，直线是如何测量出来的，是必须要给出明确回答的问题，而不是一个无关紧要或能含糊其辞的问题。

显然，我们完全可以说，我们规定了某一物体是直尺，它就是直的。坐标系中的坐标轴是我们用我们规定好的直尺测量过的，它也是直的。后来我们将长度测量标准改为光线在给定时间内所传输的距离，这时，我们也可以说，光线是沿直线传播的。这实际上就是说，我们用光线定义了直线，其它线段如果与光线不吻合，它就不是直线。也可以说，“光线沿直线传播”是我们人为的规定。如果直线判别标准不是人为规定的，我们判断直尺不直的更标准的直尺又是什么呢？

可见，直线的测量标准，实际上是在我们规定长度测量标准时，即规定直尺时，同时人为规定了的。以前人们似乎没有在意过这个问题，但仔细追究，认为直线的测量标准是在规定长度测量标准时就同时规定了的，应该是物理学中最合理的回答。长度测量标准的主要用途是测量物体的长度，而直线测量标准的用途则是判定一条线段是不是直线，因此，我们也可以将其拆分成两个标准来讨论。

有人说，短程线可以作为直线的判别标准。但空间中两点之间的所有连线中，究竟那一条是短程线，需要测量这些连线的长度，因此，必须首先要有直尺，而且，直尺必须是直的，这样，测量出的长度才是我们通常所说的长度。可见，直线的判别标准，还是在规定直尺时所规定了的。

既然直线的判别标准是人为规定的，那么，我们能不能任意规定一条曲线为直线呢？否则，怎么能说是人为规定的呢？我们不能说，我看到它就是弯的，因为我们的感觉系统是不能作为标准使用的。

暂时放一放关于直线判别标准的讨论，先来检查一下“光线沿直线传播”的规定。在广义相对论中，光线并不沿直线传播，引力场中的光线会弯曲，这是广义相对论的一个重要实验支持。英国科学家爱丁顿在一次日全蚀时，拍下了太阳周围其它天体的照片，与正常情况下的天体照片对比，发现照片上太阳周围的天体位置变化了，但我们认为天体的实际位置并未变化，而是光线弯曲了，太阳的引力导致了其它天体的光线在经过太阳附近时发生了弯曲。

那么，在广义相对论中，光线还能是直线的判别标准吗？如果不是，广义相对论中的直线又是怎样判定的呢？

仔细分析一下爱丁顿的作法，也许能帮我们解开这个迷。爱丁顿是拿两张照片比较后，才认定光线是可以弯曲的。这里，爱丁顿认为照片的感光纸是不会收缩或膨胀的，因为这是用我们的直尺测量出来的，同时，爱丁顿认为星系的位置也是不会变动的，因为这是我们以往长期测量的结果，测量时使用的标准是与直尺等效的规律标准，唯一可以变动的因素是光线，唯一的解释只能是光线弯曲了。显然，在爱丁顿的心目中，一条线段是不是直线是完全可以判定的，这个判定标准是存在的。可以说，爱丁顿是以我们以往的整个物理理论，包括与这个理论完全一致的常识作为了直线的判别标准。

但是，在我们以往的物理理论中，或按我们以往的直线测量标准，光线是沿直线传播的。光线沿直线传播是我们的测量标准，为什么它又能测量出光线沿曲线传播呢？这难道不是自相矛盾吗？

当初我对这一问题也迷惑不解，但后来恍然大悟。如果我们仍用原来规定的直尺作为长度测量及直线判定的标准，则当我们将这个直尺拿到另一个地方，测量出另一个同种材料、同样形状的物体因某种原因（如受力）而弯曲了，变短了，我们并不会迷惑。当然，标准直尺没有受到这种因素的影响（如不受力）。同样，如果认为光线是直线的判定标准，则我们只能这样说，“在没有引力场的时空中，光线是沿直线传播的”，这是我们人为的规定，它等效于直线的测量标准。即使在有引力场的地方，“在没有引力场的时空中，光线是沿直线传播的”这句话也是对的，它仍是我们的直线判定标准，只不过它已不是“实物标准”，而是“规律标准”了，即用由这个标准所测量出来的物理规律及整个物理理论体系作为时空及直线的测量标准。我们说，感光纸不会膨胀或收缩，星系位置不会变化，就是与“无引力场的时空中光线沿直线传播”这个实物标准等价的规律标准。用这个规律标准测量，另一束光线，在经过引力场时发生了弯曲，就如同用没有受力的实物的直尺，测量出了另一个同种材料、同样形状的物体因受力而发生了弯曲一样。直尺只是对一个特定物体的长度及形状做出了规定，而不是对所有物体长度及形状的规定，包括所有同类材料和形状的物体。同样，当用光线作为直线的判定标准时，也只是对一个特定场合下的光线是不是直线作了规定，而不是对所有情况下的光线做出规定。

可见，我们不能冒失的说，原来的整个物理理论，与用这个理论作为标准所测量出的光线可以弯曲的结论相矛盾。在我们以往的整个物理理论中，没有涉及到或测量过光线在引力场中传播时的情况，至少没有测量过强引力场中的光线传播。也许是原来的理论不全面，现在有必要扩展我们的理论，增加由“无引力场时空中的光线沿直线传播”这一标准所测量出来的，引力场中光线会弯曲这一实验结论。

可以说，在我们所在的参照系中，测量出广义相对论成立的直线测量标准，或直线的定义，仍是“无引力场环境中的光线是直线”，或与这一说法完全等价的其它定义或规定，例如，规定一条与无引力场环境中的光线完全吻合的物体棱边作为直线，规定保存在大英皇家天文台中的铂金条的棱边作为直线。

假设有一种特殊材料构成的外星人，为了讨论方便，假设他们的星球相对于地球静止，即他们的参照物与我们相同，但他们生活在强引力场中，如果他们的视觉系统与我们人类一样，也是感光系统，他们就极有可能将他们所在位置引力场中的光线人为的规定为直线。在他们所测量出的物理理论中，光线在某一特定强度的引力场中沿“直线”传播，但当引力场变化时，或不存在引力场时，光线也会弯曲。或者，我们也可以想象在我们所在的参照系中，有一群视力有问题的人，他们手中拿着一根弯曲的木条，当然，这根木条的弯曲是连续可微的，但他们却认为木条的梭边是直线，用他们的标准测量，无引力场环境中的光线是曲线，而当引力场变化时，光线的弯曲程度也会变化。

当然，并不是任意的“曲线”都能被规定为“直线”，这种规定必须要有一个前提，即用这种规定的“直线”，应能测量出数学中所有可能的几何学中的一种几何学，否则，我们的规定就是不完备的，甚至是错误的，即它就不是我们通常所说的直线或曲线。从拓扑化的物理学角度看，我们规定的作为直线标准的曲线，只能相对于我们现在所用的直线标准作连续和平滑的变化，否则，用这些标准测量出的物理规律，就与我们所在系的物理规律，不能属于同一个拓扑化的物理学。

用我们的直线标准进行实际测量，我们发现，无引力场和其它外界因素影响时，空间中成立的几何是欧氏几何，我们的直线，即光线可以无限延长，当有引力场时，空间中成立的几何是黎曼几何，原来的直线，即光线会弯曲，甚至会首尾相接，如同球面上的经纬线一样。用外星人或视力有问题的人的直线标准测量，无引力场时，空间中成立的几何已不再是欧氏几何，而是黎曼几何，当引力场达到某一特定值时，空间中成立的几何才是欧氏几何。球面上成立的几何就是黎曼几何。在黎曼几何中，直线可以是球面上的经纬线，即短程线。但是，数学中并未规定欧氏几何是绝对真理，我们所在的空间中究竟应该成立那种几何，取决于我们所在空间中的实际情况，或者说，取决于我们的实际测量，当然，也就取决于我们对直线测量标准的人为规定。如果我们规定另一种“曲线”为直线，我们就会测量到不同的几何学。

虽然我们与外星人或“视力有问题的人”的测量结果差距巨大，在我们看来是直的东西或轨迹，在他们看来是弯的，在无引力场的环境中，我们的直线可以无限延伸，但他们的直线却会首尾相接，我们看到的无限他们看来可能是有限，或者相反，但是，如果不考虑参照系的影响，或者认为外星人与我们用的是同一个参照系，只是直线的判定标准不同，这种不同就如同一个参照系内部的长度及时间的测量标准不同一样，它不会导致物体存在及运动过程中的一些具有拓扑性质的关系发生变化。虽然使用了另一套直线及时空测量标准，但物体之间的相对位置，事件之间的先后顺序这种与时空的具体测量值无关的关系不会发生变化。我们与外星人的几何，是同一种拓扑学下的不同的具体几何。平面上的欧氏几何与球面上的黎曼几何在拓扑学中是等价的，或者说，无限大平面与球面在拓扑学中是等价的二维曲面。实际上，即使我们和外星人的参照系不同，但只要参照系之间的相对运动是连续和平滑的运动，只要外星人的时空测量标准，包括直线判定标准，也相对于我们的标准作连续和平滑的变化，我们和外星人测量出的拓扑性质的关系也会完全相同。

也许，我们就是弱引力场中的“外星人”，也许我们实际使用的直线判定标准不是“无引力场时空中的光线是直线”，而是“弱引力场某处时空中的光线是直线”，因为无引力场的时空只是一个理想情况，真正的无引力场的时空是不存在的。我们说，日蚀前，太阳周围天体的光线是直线，可能是我们的测量不够精确。同样，也许我们认为我们的直线可以无限延长，并不是精确测量的结果，如果精确测量，我们就会发现，我们的直线，如光线，在非常遥远的地方会首尾相接，我们原来也生活在类似球面的“弯曲空间”中。当然，即使我们的标准确实是“无引力场环境中的光线是直线”，但如果存在引力场，原来的直线，如光线也会弯曲，甚至会首尾相接，原来的直线，如光线，就不再是我们测量出的直线。我们测量出的引力场中的几何，就不再是欧氏几何。

确定了直线的判别标准，我们就可以方便的定义平面等其它几何元素了，例如，在直线已明确定义或判定的前提下，平面就可以用两条相交的直线、一条直线和该直线外的一点等来定义或判定。而且，更重要的是，有了直线的判别标准，我们才能进行具体的几何测量，我们才能判定三维空间中成立的几何学是何种几何，才能判定三维空间是平直的还是弯曲的。

如果我们规定的直线就是无引力场空间中的光线，则光线在引力场中的弯曲，也就可以说成是原来的直线在引力场中弯曲了。广义相对论实际上说明了，在引力场中，我们原来认定的直线会弯曲，我们原来测量出来的欧氏几何，会变成黎曼几何。例如，在无引力场的空间中，三角形的内角和为180°，这并不是空无一物的空间所具有的特征，而是由无引力场的空间中的三条光线所围成的图形所具有的特征，如果空间中存在引力场，或三角形的三条边不能与三条光线吻合，则三角形的内角和就不等于180°。在引力场中，三角形的内角和不等于180°，也不表示空无一物的空间弯曲了，而是指由引力场中的三条光线或与这三条光线完全吻合的曲线围成的图形所具有的特征。所谓的引力场使三维空间发生了弯曲，实际上是说引力场改变了物质存在或运动的状态，具体的讲为引力场改变了光线的平直或弯曲状态，从而使得由物质存在或运动状态所确定的三条直线长度之间的关系不再遵守勾股定理。是引力场对物质存在或运动产生了影响，而不是引力场对空间本身产生了影响。

可以看出，在广义相对论中，并不是物理学被“几何化”了，而是几何学被物理化了。几何学中不加定义的直线，在现有的物理学中被具体定义为无引力场时空中的光线，所有的几何定理，都变成了具有具体的、实物的测量对象的物理规律了。我们说，三维空间是平直或是弯曲的，并不是指纯粹的、毫无内容的空间是平直或弯曲的，而是指具体的、实物的测量对象具有了某种物理特征。

彭加勒认为，选择欧氏几何，还是其它几种非欧几何，完全是一种人为的约定，与实测结果无关。他在《科学与假设》一书中说，“实验不过告诉我们物与物之间的关系，至于物与空间的关系，或空间各部分的相互关系，都是实验达不到的，也是不能达到的。”但我认为，至少在物理学中，不可测量的，也就是不可讨论的。我完全赞同广义相对论中的通过实测才能确定几何学的观点，但测量的标准却是人为约定的，而且，实测确定的几何学只能是三维空间中的几何学，不存在四维时空中的几何学。既然几何学是实测出来的，就必定有测量的实物对象，因此，在物理学中，几何定律也就变成了实体的测量对象之间的关系，几何学也就被具体化、物理化了，而不是相反，认为物理学被几何化了。