首届华罗庚数学竞赛上，小学组有一道这样的题目：若干人在水龙头前面排队打水，水桶有大有小，他们应该怎样排队，才能使得大家在水龙头前面耗费的总的排队时间最短？
多年以前，我曾经借排队打水的这个题目，介绍经济学上重要的帕累托效率的概念，并且说明，如果允许人们交易，那么使得总的排队时间最短的最优方案，就能够通过自愿的经济过程实现。今天，我想借这个题目，模型解说交易如何能够“无中生有”地创造财富，并且进一步发展当时关于政治过程的想法。
排队打水的最优化问题
为了后面叙述方便，首先让我简要回顾一下当年的讨论。
应该怎样排队，才能使得总的排队时间最短。这是一个寻求“最优化”的题目，目标是节省总的排队时间，达到最优。
这个题目的时代色彩很浓。首先是当时别说农村，就是许多城市，居民也还要到公共水龙头排队打水。更有意思的是，题目的着眼点是总的排队时间最短，固然体现集体主义的精神，却也反映了计划经济的思维。
另外，这个排队打水的题目，至少有两个大家都会想到一块去的“隐含”假设条件。一是水龙头的供水速度不变，是一个常数；二是每个排队接水的人都在自己的桶接满了水才走。这样一来，用大水桶接水的人，接水时间就长，用小水桶接水的人，接水时间就短。
读者容易猜到这个题目的答案：到水龙头打水的人，按照他们水桶的大小，从小到大排队。这样，他们花在排队上面的总的时间最短。
猜到正确的答案，也是一种本事，所谓经济学直觉是也，可以得到一半分数。但是从数学角度看，单是猜对这个最优化方案，题目还只能说是做了一小半，而证明它的确是最优的方案，才是题目的难点所在，数学训练非常看重论证能力。
方案的最优性可以用反证法这样证明：首先，只要不按照水桶大小从小到大排，就至少有挨个的两个人是大桶在前小桶在后，这时候如果他们换位，那么别人的排队时间不变，而他们两人总的排队时间就缩短，从而大家总的排队时间就会缩短。可见，只要违背了从小到大的排队方案，造成大桶在小桶的前面，一定浪费时间。这就证明了，从桶小到桶大的排队方案最节省时间，是最优方案。
比方说大桶接满需要20分钟，小桶接满需要10分钟，那么从轮到这两位开始算，原来大桶在前小桶在后，大桶者需要20分钟，小桶者要等待前面的大桶把水接满才轮到自己接水，所以他需要20+10=30分钟，两人合共需要50分钟。如果他们换位，小桶者先接水，他需要10分钟，大桶者在后，他需要10+20=30分钟，两人合共只需要40分钟。两相比较，节约了10分钟。
最优方案的可行性讨论
但是，如果排队的都是平等的居民，上述最优化方案就实现不了，因为如果水桶大的人已经排在前面了，他怎么肯往后去呢？尽管你跟他说换位可以使全体总的排队时间缩短并且他也明白这个道理，可是他自己排队的时间就会延长。以上面大桶20分钟小桶10分钟为例，持大桶者和他紧后面持小桶的人换位，他自己排队的时间要延长10分钟。不是讲究平等吗？“我已经排在前面了，凭什么偏偏让我换到后面多耗10分钟？”所以，他不肯换到后面去。
从最优方案之难以实现，可以体会经济学为什么那么讲究以意大利古典经济学家帕累托命名的“帕累托效率”标准。所谓“帕累托改善”，是指在没有人受损的情况下一些人得到改善；不能够再帕累托改善的状况，称为“帕累托效率”或者“帕累托最优”的状况。让大桶者换到后面去，虽然有人改善了，但是大桶者本人却受损了。所以这不是帕累托改善。只要大家都是奉行“自身利益最大化”的所谓“经济人”，凡不是帕累托改善，就无法实现，因为哪怕总体改善，还是有人受损，受损的人不愿意。
这也是经济学家把不能再做帕累托改善的状况定义成帕累托最优的道理，因为经济关系是当事人自主的关系，经济行为是当事人自愿的行为，而经济学家并不设想强迫什么人做什么事。
当然，通过政治过程，上述最优方案还是可以实现的。一种办法是英明独裁，大家都服从一个为大家的整体利益着想的独裁者，他吩咐大家从桶小到桶大排队，不管你是否乐意。另一种办法则是民主独裁，由一个人主持少数服从多数的表决，首先表决水桶最大的人排到最后面好不好，因为多数人赞成，他只好排到最后，然后表决水桶第二大的人排到倒数第二位好不好，因为还是多数人赞成，他也只好排到倒数第二位去。这样一次一次做下去，终于达到总体最优。这样做，形式上民主，少数服从多数，实际上还是独裁，因为大家对程序和操作都没有发言权。凭什么大家只能就主持人提出的那些个yes-or-no进行表决呢？重要的是，不管是英明独裁还是民主独裁，总有一些人不乐意。
但是，经济学家知道，只要允许自主的人们相互之间交易，上述最优化方案在自愿前提下的可行性就不成其为问题。事实上既不需要英明独裁，也不需要民主独裁，人们可以通过互利的交易，实现社会总成本的节约，并且皆大欢喜，没有人吃亏，没有人需要服从。
还是以前面说的大桶接满水需要20分钟、小桶接满水需要10分钟的例子来说明。假定这些排队的人的时间价值是每分钟1角钱。原来大桶在前小桶在后，小桶者可以提出和大桶者交换位置，并且给他15角钱作为补偿，这样他自己就可以站到前面一点。关切自己利益的大桶者应该是肯的，因为交换位置以后，他站后了一位，需要多花10分钟排队，可是他得到的补偿是15角钱，相当于补偿了他可以干活的15分钟，两相比较，交易使他净“赚”了5分钟。提出交易的小桶者付出去15角钱，相当于付出去15分钟，却因为排队站前了一位省回来20分钟。这样，他因为建议并且实施这项交易，净赚了5分钟。
你看，不需要额外的花费，只需要制度允许人们做交易，那么人们就能够从自愿的交易中相互得利，社会为排队打水所花费的总成本节约了许多。时间节约，等于福利提高。于公于私，都是好事。
记得上面的推导有一个条件，就是排队者的时间价值一样。如果时间价值差别不大，上述结论仍然成立，大家容易自己证明。但是如果两个人的时间价值差别很大，情况就不一样了。比方说你每分钟挣1角钱，排在你后面那位每分钟挣2元钱，那么不管你们两位谁是接水需要20分钟的大桶者，谁是接水需要10分钟的小桶者，他还是会提出和你换位的交易。这也容易证明。
实际上，后面这种情况，也说明高官老总不排队的道理。他有什么本来需要排队的事情，甚至可以不和你照面，而是吩咐他手下每分钟工资2角钱的伙计替他搞定。
交易创造价值的孤岛模型
设想因为游轮失事，两个相互不认识的文明人侥幸地被冲上一个礁岛。惊险和混乱之中，张三抓住一箱100瓶饮用水，约翰抓住一箱100包饼干。他们就这样被困礁岛，不知道什么时候会有人发现他们并且把他们救出去。礁岛上寸草不生，附近也看不到鱼虾。他们的所有财产，就是张三的100瓶饮用水和约翰的100包饼干。在海难的情况，孤单的生还者难得抓住漂过来的饮用水或者饼干，据为己有，不让它们随风逝去沉入大海，法理上应该也说得过去。
现在，一箱饮用水是张三的私有财产，一箱饼干是约翰的私有财产。他们是文明人，不会做夺取私有财产的事情。
惊魂稍定之余，他们要考虑怎么生存下去。
张三饿极了，他没有东西吃。看着约翰有那么多饼干，他提出以1瓶水交换约翰的1包饼干。约翰渴死了，他没有淡水喝。正在发愁，现在张三提出以他的1瓶水交换自己的1包饼，他当然同意交换。于是交易成立。
现在我们想想，对于张三来说，这交换来的1包饼干，值他的多少瓶水？肯定不止值1瓶水，也不止值2瓶水3瓶水，这点我想大家都会同意。至于这交换来的头1包饼干究竟值他的多少瓶水，自然不同的读者可以有不同的感受，但是按照我的想像，这1包饼干能值他的10瓶水，恐怕读者也不好说没有道理。
如果这1包饼干对于张三就值10瓶水，那么以饮用水的瓶数来衡量，张三的财富就从原来的100瓶水变成相当于109瓶水！
要是张三再以1瓶水交换约翰的1包饼干，这第2包饼干对于张三，我想像可能值9瓶多水，从而张三的财富就进一步变得超过98＋10＋9＝117瓶水！
假设为了活命，饮用水和饼干的最佳配置是1瓶水配1包饼干。张三和约翰就可以按照上述模式交易，一直交易到张三和约翰都各有50瓶水和50包饼干。
大家知道，利益是交易的前提，放在这里，也可以说境况改善是交易的前提。所以，当张三和约翰按照上述模式交易至各有50瓶水和50包饼干以后，他们不再有交易的激励。既然这样，我们可以想像这最后交换回来的第50包饼干，只值张三的1瓶水多一点点。
为了模型计算方便，我们假设随着交易的进行，新交易回来的饼干相对于原来持有的饮用水的价值，线性地下降，从开始的每包饼干值10瓶水，线性地下降到每包饼干只值1瓶水多一点点。运用从1加到100等于50个101的技巧，我们知道从10开始线性地下降到1这么50个数字相加，结果是25个11，也就是275。这样我们就知道，通过上述互利的交易，张三的财富已经从原来的100瓶水上升到现在的超过275＋50＝325瓶水！同样，约翰的财富从原来的100包饼干上升到现在的超过275＋50＝325包饼干。
前面排队的例子告诉我们，交易可以“无中生有”地创造财富，现在的孤岛模型告诉我们，互利的交易可以“无中生有”地让海难生还者的财富膨胀到三四倍。
模型的讨论
在孤岛模型中，随着交易的进行，张三的饮用水的瓶数从100开始下降，饼干的包数则从0开始上升。在这个动态变化的过程中，既然张三的饮用水的瓶数在下降，换回来的饼干的包数在增加，那么因为物以稀为贵，每瓶饮用水对于张三的价值在上升，每包饼干对于他的价值在下降。这时候，原来张三交换回来的头1包饼干，还值他的10瓶饮用水吗？
这个问题问得好。的确，物以稀为贵是市场经济的基本规律，经济现象都逃不过物以稀为贵规律的支配。同时兼顾物以稀为贵带来的价值变化和交换当时的价值折算，的确比较困难，但是我们至少知道，在上述动态变化使得张三交换回来的饼干的财富价值按照饮用水瓶数衡量可能下降的同时，同样依据物以稀为贵的规律，他仍然持有的每瓶饮用水的价值却在上升。一降一升，大体可以相互冲抵。
至于觉得张三交换回来的头1包饼干不值他的10瓶水，也没有问题，因为你总不至于觉得它只值1瓶水2瓶水吧。假设你觉得它值5瓶水比较合适，那么按照上面的推导，照样可以得出交易创造财富的结论。
在微观经济学里面，上述二人二商品的互利交易，通常借助艾奇沃斯盒分析表述（画图），其中无差异曲线大家已经知道。重要的是清楚初始持有的位置，了解二人通过这个位置的无差异曲线围成交易互利区域，特别是认识通过初始持有位置向交易互利区域发展的直线，反映交换的相对价格：直线越陡，横轴表示的商品相对来说越贵，直线越平，横轴表示的商品相对来说越便宜。这要变成你们的条件反射。我们强调相对价格。事实上，在艾奇沃斯盒讨论中，并不出现货币。
最后我们指出，无论是孤岛模型还是艾奇沃斯盒讨论，背景仍然是不考虑生产的纯交换经济。因为是没有生产的纯交换创造财富提高福利，所以特别说是“无中生有”的财富创造。认识这个财富创造非常重要。苏俄模式计划经济国家的人民都很穷，重要的原因就是制度不允许人们做交易。
如果你觉得孤岛上原来一共有100瓶水和100包饼，现在还是100瓶水和100包饼，看不到财富创造，那么我就会觉得你的经济学领会比较弱了。须知，对于海难生还者的存活，张三约翰不交易的100瓶水和100包饼，相当于张三约翰分别生还在相互之间不可及的两个荒芜的孤岛，张三有100瓶水，约翰有100包饼干，他们都支持不了几天。这样的100瓶水和100包饼干，对于他们“苦撑待救”只是一些没有什么价值的“东西”。相反，现在这样交易以后，同样的这些“东西”，就成为他们“苦撑待救”的巨大财富。在经济活动中，所谓盘活资产，也就是这个意思。
如果把生产也包含进来，还是二人二商品的情况，通常使用生产可能性边界和提供曲线分析（画图），交易使得双方的生产和消费分离，交易促使生产专业化，交易增加双方的财富，增进双方的福利。这里，“二人”更多地理解为两个国家，商品也成为比如说工业品和农产品这样高度概括性的抽象商品。
所有这些，都是微观经济学和国际贸易理论的精彩篇章，是你们要掌握的学问。
