今年5月，关于中国数学现状的话题引起了广泛热议。本文旨在通过一些数据和事实，从另一个角度探讨中国数学的现状。一方面要正视现实，另一方面也不应妄自菲薄。
领导世界的“美国数学家”是些什么人
最近网上流传的是一位著名数学家的演讲：“到了1960年，美国数学已经领导世界”、“中国现今数学还没达到美国20世纪40年代的水平”。
那么，领导世界的“美国数学家”是些什么人呢？首先是靠被纳粹驱赶而来到美国的犹太人。美国数学的一个重要转折是普林斯顿高等研究院创立，它创立于1930年。其辉煌时期始于上世纪30年代中期，汇集了爱因斯坦、奥本海默、冯·诺伊曼、哥德尔、魏尔几位大师。这五位台柱子中有两位物理学家、三位数学家。除了家喻户晓的爱因斯坦外，另一位物理学家最近因以其名字“奥本海默”为题的传记电影而闻名世界。
这五人中，爱因斯坦曾于1914年至1932年任德国威廉皇家物理研究所的第一任所长，1933年加入普林斯顿高等研究院；数学家冯·诺伊曼1926年以22岁的年龄获得了匈牙利布达佩斯大学数学博士学位，之后在德国担任数学教授，1933年加入普林斯顿高等研究院；哥德尔是奥地利人，1933年开始访问美国，1934年在普林斯顿高等研究院访问，1940年开始长期任职于此；魏尔是德国哥廷根学派的传人，是20世纪最有影响力的数学家之一，到1933年纳粹执政时，因其妻子是犹太人而被迫离开德国，加盟普林斯顿高等研究院。
他们加盟之后，高等研究院汇集了很多世界数学高手。比如陈省身先生，他1943年到普林斯顿高等研究院做访问学者，这一年他完成了划时代的论文《闭曲面流形高斯——博内公式的一个简单的内蕴证明》；1949年初，陈省身应普林斯顿高等研究院邀请举家迁往美国，之后长期在美国工作。还比如第二届菲尔兹奖得主阿特勒·塞尔伯格，1950年代初从欧洲来到美国后就长期就职于普林斯顿高等研究院。
除了普林斯顿高等研究院，像纽约大学、芝加哥大学、哈佛大学、普林斯顿大学等美国名校同样是纳粹驱赶犹太人的政策受益者，他们收容了大量的欧洲数学家。2009年，普林斯顿大学出版社出版了一本500多页的书《逃离纳粹德国的数学家》。这本书指出：“这些杰出思想家的涌入，深刻地重塑了数学界，并使美国在数学研究领域占据了新的领导地位。”
今天的美国数学：依然靠移民
很多人眼里的美国数学强大，其标准之一是教授的质量，另一个是菲尔兹奖得主的数量。那么我们也分析一下相关数据。
先说数学学者。美国数学师资最强的应该是普林斯顿大学数学系，让我们来看看它的教授组成。我们下面提到的“外援”，指的是这些学者大学不在美国就读，而是在自己的祖国就读的。
通过普林斯顿大学数学系网站可以看到，它的正教授有30位，其中外援21位，包括以色列外援6位（Aizenman、Alon、Chudnovsky、Dvir、Singer、Naor），中国外援4位 (Chang、Xu、Yang、Zhang)，罗马尼亚外援3位（Constantin、Ionescu、Klainerman），匈牙利外援2位（Kollár、Szabó），巴西外援1位（Marques），南非外援1位（Sarnak），英国外援1位（Seymour），乌克兰外援1位（Rodnianski），韩国外援1位（Huh），澳大利亚外援1位（Sly）。从大学开始就在美国接受教育的仅有9位（Bhargava、Bhatt、Dafermos、Ozsváth、Fefferman、Gabai、Sawin、Skinner、Katz），其中至少前四位是移民第二代。
这种靠外援的现象，在美国的研究型大学里非常普遍。特别是过去的40年，由于中国的改革开放、苏联的解体，美国研究型大学数学系里的研究主力超过一半是外援。由此可以看到，正是由于宽松的移民政策，美国的数学家队伍是以“联合国”形式存在的。
再看看近30年菲尔兹奖得主的分布情况。大家知道，国际数学家大会是由国际数学联盟主办的全球性数学学术会议，各国数学家们在会上交流、展示、研讨数学的发展，每四年举办一次。在大会开幕式上，将颁发备受国际数学界瞩目的菲尔兹奖。菲尔兹奖只颁授给40岁以下的年轻人，每四年颁发一次，每次不超过4位获奖人。
2022年4位获奖人来自美国、乌克兰，法国，英国。其中美国获奖人是许埈珥，他是在韩国受的大学教育、美国读的博士；乌克兰获奖人在乌克兰读的大学、德国波恩大学读的博士，而其他两位英法获奖人都是在本国受的全部教育。
2018年的4位获奖人来自德国、意大利、伊朗、澳大利亚。其中伊朗获奖人在伊朗的德黑兰大学读的大学，英国诺丁汉大学读的博士；澳大利亚获奖人在澳大利亚读的大学、美国读的博士；意大利获奖人在意大利读的大学、法国读的博士；德国人在波恩大学受的本科和大学教育。
2014年的4位获奖人来自巴西、奥地利、美国。巴西获奖人全部教育在巴西进行；奥地利获奖人是在瑞士的日内瓦大学受的全部教育；两位美国人里面一位是印度移民，一位是伊朗移民。其中这位印度移民在美国接受的大学和研究生教育，伊朗移民在伊朗的德黑兰大学读的大学，博士学位在美国完成，她也是历史上第一位获奖的女学者，可惜英年早逝，于2017年40岁时去世。
2010年的4位获奖人来自以色列、越南、俄罗斯、法国。以色列候选人在以色列接受了全部教育；越南获奖人在法国受的全部教育；俄罗斯获奖人在俄罗斯和美国学习，现在在瑞士日内瓦大学工作，他培养了2022年法国菲尔兹奖得主；法国获奖人全程在法国接受的全部教育，他培养了2018年意大利菲尔兹奖得主。
2006年的4位获奖人来自俄罗斯、澳大利亚、法国。两位俄罗斯获奖人全程在俄罗斯接受的全部教育，其中一位是解决了著名的庞加莱猜想的佩雷尔曼；澳大利亚籍的是华人数学家陶哲轩，他的父母是香港人，他在澳大利亚读的大学、美国读的博士，他的导师培养了两位菲尔兹奖得主；法国人是在法国受的全部教育。
2002年在北京获得菲尔兹奖的仅有两位学者，一位法国人、一位俄罗斯人。这位法国人的教育全部在法国，并且他的一位学生培养了2010年那位获奖的越南人；而那位俄罗斯人在莫斯科大学肄业，苏联解体后到美国读的博士学位。
1998年，4位获奖人来自英国、俄罗斯、美国。两位英国数学家在英国接受的全部教育；俄罗斯数学家在俄罗斯受的大学教育、德国波恩大学读的博士学位，他的导师也培养了两位菲尔兹奖得主，包括2018年那位乌克兰得奖人；美国获奖人是少有的全部教育都在美国取得的非外援。
1994年，4位获奖人来自法国、俄罗斯、比利时。两位法国人都是在法国接受的教育，其中一位培养了2010年的法国菲尔兹奖获得者；比利时和俄罗斯获奖人全程在本国受的教育。
由上可见，在过去的30年里，在美国获得全部大学和研究生学位的菲尔兹奖得主只有2位；而全程在法国接受大学和研究生教育的有8位，在俄罗斯接受全程教育的有4位，在英国接受全程教育的有3位。
虽然美国拥有强大的“联合国军”教授队伍，但在人才培养，特别是大学本科数学培养方面，它和法英等数学传统强国相比并没有显示出多大优势。
但美国的高工资和宽松的移民政策确实吸引了很多高水平的人留下来或过去工作，这倒是一个实实在在的现象。
中国数学的年轻一代成长趋势明显
中国改革开放40余年，数学的人才培养成就有没有？研究水平是不是大有提高？我们觉得经过二三十年的积累，特别是近十几年的队伍建设和科学研究，成绩是喜人的。
改革开放后，经过几代人的努力，一批年轻人逐渐成长起来了，在国际数学界有了很好的地位。比如网络上大家可以看到北大数学“黄金一代”（即在千禧年前后进入北大学习）的故事，也可看到著名数学家、普林斯顿大学教授张寿武的评价：“张伟、袁新意、恽之玮、朱歆文等，他们可能不像陶哲轩那么聪明，不是天才，但他们可以对数学作出划时代的贡献。他们合在一起，应该是中国数学的未来，他们肯定会做得很好”。
张寿武提到的四位青年数学家是黄金一代的代表性人物。北大数学在千禧年前后培养的其他成员有1997级的倪忆，1998级的于品，1999级的许晨阳、刘若川、董彬，2000级的张伟、袁新意、恽之玮、朱歆文，2001级的鲁剑锋、马宗明、肖梁，2002级的丁剑、刘毅、汪璐、王博潼，2003级的林霖、刘一峰，2004级的王国祯、徐宙利，2005级的程修远，2007级的邓煜、孙鑫、苏炜杰、王虹，2010级的庄梓铨等。
现在，北大数学培养的年轻人在美国名校做正教授的有加州理工学院的倪忆、麻省理工学院的张伟和恽之玮，斯坦福大学的朱歆文，杜克大学的鲁剑锋，耶鲁大学的马宗明、汪璐，加州伯克利大学的林霖，普林斯顿大学的许晨阳、南加州大学的邓煜等。而在美国一流数学系做副教授的年轻人有威斯康星大学的王博潼、加州大学圣地亚哥分校的徐宙利、杜克大学的程修远、宾夕法尼亚大学的苏炜杰、纽约大学柯朗数学研究所的王虹、约翰斯·霍普金斯大学的庄梓铨等。
令人欣喜的是，也是改革开放前30年很难出现的是：一批优秀的年轻人放弃了国外名校的教职，回到了祖国从事数学教研工作。“黄金一代”成员中，在普林斯顿大学取得博士学位的于品2010年加盟清华大学，而在麻省理工学院取得博士学位的刘若川、在加州大学洛杉矶分校取得博士学位的董彬、在加州大学伯克利分校取得博士学位的刘毅分别于2012年、2014年、2015年加盟北大国际数学中心。2016年，取得麻省理工学院博士学位的王国桢加盟复旦大学。又过了5年，在国外取得终身教职的“黄金一代”开始归来：袁新意2020年辞去加州伯克利大学副教授职位回到北大；刘一峰2021年辞去了美国耶鲁大学正教授职位回到浙大工作；肖梁2021年辞去美国康涅狄格大学副教授职位回到北大；丁剑2022年辞去宾夕法尼亚大学讲席教授职位回到北大；2023年，他们的师弟孙鑫辞去美国宾州大学助理教授职位回到北大。当年，孙鑫刚荣获概率领域最重要的国际性奖项之一戴维逊奖。
近几年，北大“黄金一代”的名字频繁出现在大众视野中，他们捷报频传、成绩斐然，陆续斩获数学新视野奖、拉马努金奖、斯隆研究奖、美国数学学会百年纪念奖、西蒙斯学者奖、求是杰出青年学者奖、克雷研究奖、未来科学大奖等多个重量级奖项。北大培养的学生在欧美顶尖大学担任教授的人数是前所未有的，其中有些主要工作是在国内完成的。
除了北大“黄金一代”外， 其他高校培养的数学人才也开始归来。比如，2017年，中国科大2000届毕业生姚方辞去多伦多大学正教授职位加盟北大；2021年，中国科大2005届毕业生谢俊逸辞去法国国家科学研究中心（CNRS）的终身职位加盟北大；2024年，中国科大2006届毕业生孙崧取得加州大学伯克利分校正教授职位后回国加盟浙江大学。孙崧1987年出生，是中国科大少年班的学生，31岁就在国际数学家大会这一重要国际舞台上作邀请报告。
每届国际数学家大会上，组委会都会邀请在相关领域做出杰出工作的数学家作主题报告。作为一个历史悠久的学术传统，国际数学家大会的邀请报告按时长分为1小时与45分钟两种。受邀作主题报告标志着数学家的工作得到了国际数学界的普遍认可和赞誉，这比其它某些数学组织或数学会议颁发的奖项更具有权威性和认可度。有多少人被邀请作报告是一个国家数学整体水平的标志之一。在上个世纪，中国在每届会议上能作邀请报告的学者寥寥无几。
2022年举行的第29届国际数学家大会上，共有14位中国大陆数学家应邀作主题报告。其中北京大学鄂维南院士作一小时报告，另有13位中国大陆学者做45分钟邀请报告，他们是北京大学的朱小华、章志飞、董彬、刘毅、丁剑；浙江大学的包刚、孙斌勇；中国科学院的戴彧虹、田野；华东师大的刘钢；四川大学的吕琦；清华大学的单芃；复旦大学的王国桢。这里面一半以上是40多岁的年轻人；其中近一半是这10年回国的董彬、刘毅、刘钢、单芃、丁剑、王国桢。
值得一提的是，我国的博士生培养也取得了优秀的成绩。例如，在2022年国际数学家大会做报告的学者中，北京大学的朱小华于1995年获得浙江大学博士学位，中国科学院的戴彧虹于1997年获得中国科学院博士学位，北京大学的章志飞于2003年获得浙江大学博士学位，四川大学的吕琦于2010年获得四川大学博士。1996年博士毕业于中国科学院的史宇光，于2010年获得ICTP拉马努金奖，是第一位获此奖项的中国人；2006年博士毕业于复旦大学的雷震，因在流体方程组解的定性理论方面的系列工作获得了2020年度国家自然科学二等奖、科学探索奖等多项荣誉。北京大学数学院教授杨超2007年毕业于中国科学院，他荣获了2016年度“戈登贝尔”奖，实现了我国高性能计算应用在此奖项上零的突破。
近几年，在国际四大数学顶级期刊的中国学者包括：南开大学教授朱朝锋，他于2000年获得南开大学博士学位；首都师范大学教授张振雷，2008年获得南开大学博士学位；北京大学教授郭帅，2011年博士毕业于清华大学；北京大学教授关启安，2011年博士毕业于中国科学院；浙江大学教授江文帅，2016年博士毕业于北京大学。在国际科研舞台上已经有一定影响力的青年学者，包括微分方程学者韦东奕、反问题研究学者陆帅、优化问题研究学者刘歆、统计学学者邹长亮、王选杰出青年学者奖获得者周涛等，都是过去十几年国内培养的博士研究生。
这里总结两点。
第一，在过去的100年，正值青春年华并在境外名校取得终身教职而全职归来的是个别现象。这几年在耶鲁、伯克利、宾夕法尼亚、多伦多等名校取得教授职位而全职回来的开始成为一种现象，这是历史的突破，是一个非常可喜的现象，它将大大提高整个国家的数学研究水平。
第二，年轻人是数学发展的主力，四十岁左右的人是最富有数学创造力的，靠个别退休的数学大人物不会带来实质性的帮助。像前面提到的这几年归来的数学才俊，像近几年在国际数学家大会做邀请报告的多位青年学者，他们正值思想最活跃、创造力最丰富的年华，他们是中国数学界三十年磨一剑的结晶，也是中国数学稳步变强的保证。
总结
日本的数学在1990年前有段辉煌的时代：1954年在美国普林斯顿大学工作的小平邦彦获得菲尔兹奖，1970年当时在哈佛大学工作的广中平祐获得菲尔兹奖，1990年在京都大学工作的森中文获得菲尔兹奖。但在过去的30年，中国的数学在稳步前进，而日本的数学在退步，我们和日本的差距在逐步缩小，在某些领域已经超过。
通过两国在国际数学家大会邀请报告人的数量比较，就可以看到这种趋势的缩影。比如2014年第27届国际数学家大会上，中国大陆邀请报告人有3位，日本有5位；2018年第28届国际数学家大会上，中国大陆邀请报告人有4位，日本有6位；2022年第29届国际数学家大会上，中国大陆报告人有14位，日本仅有11位。注意到我们这14位报告人中有6位是近十年归国的年轻学者，一方面他们自己证明了他们是高质量的回归，另一方面他们的加盟也是中国在国际数学家大会舞台上超越日本的一个重要推动力。
除外援之外，美国数学家在上世纪40年代有学术影响的并非很多，仅有维勃伦、伯克霍夫、马歇尔·斯通等为数不多的数学家。现今的中国，除了前面提到的回到国内工作的年轻人，那些已经被国际数学家大会邀请作报告的年轻人，还有孙斌勇、田野、沈维孝等中青年骨干，他们研究的深度和广度，加起来不比今天日本的数学水平差，也不比除去外援后美国上世纪40年代的数学水平差。而“黄金一代”的出现和青年才俊的涌现，说明过去30年的中国数学人才培养之路是相当成功的，这是中国数学教育近百年来最成功的30年。
美国过去半个多世纪的数学之强，靠的是移民政策，真正非移民的美国顶尖数学家占的比例并不大，这里说的移民指的是大学不在美国读的。而在人才培养和贡献方面，欧洲人从来没有给美国“领导”的机会。
欧洲人在人才培养方面更加实在，研究成果和影响力也不逊色于美国。比如在历届国际数学家大会上，获得菲尔茨奖的64位数学家中有13位法国人，获奖人数世界第一，近30年几乎每届都有法国获奖人，这也是没有一个国家可以望其项背的。法国人培养菲尔兹奖也很“浪漫”。比如法国科学院前院长利翁斯培养了一个学生叫Brezis，后者把老师的儿子小利翁斯培养成1994年的菲尔兹奖得主，之后小利翁斯培养了2010年的维拉尼，维拉尼又培养了2018年的菲加利。
研究成果方面，过去半个世纪最伟大的理论数学的突破是费马猜想的证明和庞加莱猜想的证明，而证明两个猜想的带头人分别是英国人和俄罗斯人，他们受的数学教育和美国没有任何关系。因此，不要说是上世纪60年代，就是今天来说，“美国数学已经领导世界”的论断似乎也值得商榷。
法国不但数学原创能力经久不衰，更难能可贵的是他们培养的获奖人绝大部分留在法国。虽然他们的工资远低于美国同行，但浪漫的文化气息拴住了他们的心。德国著名数学家高斯在他的传记中有一段故事，说有一个游客问法国人：“为什么法国历史上出了那么多的伟大数学家？”法国人回答：“我们最优秀的人学习数学。”游客又去问法国数学家：“为什么法国的数学长期闻名世界呢？”数学家回答：“数学是我们传统文化中最优秀的部份。”
把数学作为文化，而不是功利，可能会走得更远。同时，要沉得住气，不要盲目自大，但更不应妄自菲薄，要稳住今天良好的发展势头，让年轻人成为振兴中国数学的主力军。“他们合在一起，应该是中国数学的未来，他们肯定会做得很好。”
汤涛，中国科学院院士，广州南方学院校长
